XVI OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że nie istnieje wielościan, którego każdy przekrój płaski jest trójkątem.

Rozwiązanie

Każdy wierzchołek wielościanu jest punktem wspólnym co najmniej trzech jego krawędzi. Niech $ A $ będzie wierzchołkiem wielościanu, a odcinki $ AB $ i $ AC $ oraz $ AB $ i $ AD $ krawędziami dwóch ścian. Obierzmy odpowiednio na odcinkach $ AC $ i $ AD $ punkty $ P $ i $ Q $ różne od końców tych odcinków i poprowadźmy przez $ P $ i $ Q $ równoległe $ p $ i $ q $ do prostej $ AB $. Proste $ p $ i $ q $ leżą w płaszczyznach dwóch ścian wielościanu, więc istnieją na nich odcinki $ p_1 $ i $ q_1 $, należące do tych ścian. Przekrój wielościanu płaszczyzną wyznaczoną przez proste $ p $ i $ q $ nie jest trójkątem, gdyż brzeg tego przekroju zawiera dwa równoległe odcinki $ p_1 $ i $ q_1 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź