XVI OM - III - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: długości $ a $, $ b $, $ c $ boków trójkąta i miary łukowe $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ przeciwległych jego kątów spełniają nierówności

\[<br />
(I) \qquad \frac{\pi}{3}\leq \frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\pi}{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

a) Dowód lewej części wzoru (1).

Załóżmy, że $ a \geq b \geq c $, wobec czego $ \alpha \geq  \beta \geq \gamma $. Wówczas

\[<br />
(a - b) (\alpha - \beta) + (b - c) (\beta - \gamma) + (a - c) (\alpha - \gamma) \geq 0.<br />
\]

Przekształcając lewą stronę powyższej nierówności i biorąc pod uwagę, że $ \alpha + \beta +\beta = \pi $, otrzymujemy kolejno

\[<br />
a (2\alpha - \beta - \gamma) + b (2\beta - \gamma -\alpha) + c (2\gamma - \alpha - \beta) \geq 0,<br />
\]
\[<br />
 a (3 \alpha - \pi) + b (3\beta - \pi) + c (3\gamma - \pi) \geq 0,<br />
\]
\[<br />
 3 (a \alpha + b \beta + c \gamma) \geq (a + b + c) \pi<br />
\]

i ostatecznie

\[<br />
\frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c} \geq \frac{\pi}{3}.<br />
\]

b) Dowód prawej części wzoru (1)

Z założenia, że liczby $ a $, $ b $, $ c $ są długościami boków trójkąta, wynika, że $ a < b + c $; stąd $ 2a < a + b + c $, zatem

\[<br />
\frac{a}{a+b+c}<\frac{1}{2}<br />
\]

i analogicznie

\[<br />
\frac{b}{a+b+c}<\frac{1}{2}, \quad \frac{c}{a+b+c}<\frac{1}{2}.<br />
\]

Z powyższych trzech nierówności wnioskujemy, że

\[<br />
\frac{a \alpha + b \beta +c \gamma}{a+b+c}<\frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}.<br />
\]

Uwaga. Pierwszą z nierówności (1) można wysnuć z następującego twierdzenia ogólnego:

Jeżeli liczby rzeczywiste $ a_1, a_2,\ldots a_n $ i $ b_1, b_2,\ldots b_n $ spełniają nierówności

\[<br />
a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n, \quad b_1 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n,<br />
\]

to

\[<br />
\frac{a_1+a_2+\ldots a_n}{n}\cdot \frac{b_1+b_2+\ldots b_n}{n} \leq \frac{a_1b_1+a_2b_2+\ldots a_nb_n}{n},<br />
\]

przy czym równość obu wyrażeń zachodzi tylko wtedy, gdy $ a_1 = a_2 = \ldots = a_n $ lub $ b_1 = b_2 = \ldots = b_n $.

Nierówność powyższa nosi nazwę nierówności Czebyszewa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź