XVI OM - III - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli liczby $ x_1 $ i $ x_2 $ są pierwiastkami równania
$ x^2 + px - 1 = 0 $, gdzie $ p $ jest liczbą nieparzystą, to dla każdego naturalnego $ n $ liczby $ x_1^n + x_2^n $ i $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $ są całkowite i względnie pierwsze.

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę indukcji. Ponieważ $ p $ jest liczbą nieparzystą, więc liczby

\[<br />
x_1^0 + x_2^0 = 2\quad \mathrm{i}\quad    x_1+ x_2 = -p<br />
\]

są całkowite i względnie pierwsze. Twierdzenie jest zatem prawdziwe dla $ n = 0 $.
Przypuśćmy, że dla pewnego naturalnego $ n \geq 0 $ liczby

\[<br />
x_1^n + x_2^n \quad \mathrm{i} \quad x_1^{n+1} + x_2^{n+1}<br />
\]

są całkowite i względnie pierwsze. Udowodnimy, że wówczas $ x_1^{n+2} + x_2^{n+2} $ jest liczbą całkowitą pierwszą względem $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $. Istotnie

\[<br />
(x_1^{n+1} + x_2^{n+1})(x_1+x_2)=x_1^{n+2} + x_2^{n+2}+x_1x_2(x_1^{n} + x_2^{n}).<br />
\]

Uwzględniając równości $ x_1 + x_2 = -p $, $ x_1x_2 = -1 $, otrzymujemy stąd

\[<br />
x_1^{n+2} + x_2^{n+2} =-p (x_1^{n+1} + x_2^{n+1}) + (x_1^{n} + x_2^{n}).<br />
\]

Z równości tej wynika, że 1) $ x_1^{n+2} + x_2^{n+2} $ jest sumą dwóch liczb całkowitych, więc jest liczbą całkowitą, 2) każdy wspólny dzielnik liczb $ x_1^{n+2} + x_2^{n+2} $ i $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $ jest dzielnikiem liczby $ x_1^{n} + x_2^{n} $, a tym samym jest wspólnym dzielnikiem liczb względnie pierwszych $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $ i $ x_1^{n} + x_2^{n} $, liczby $ x_1^{n+2} + x_2^{n+2} $ i $ x_1^{n+1} + x_2^{n+1} $ są zatem względnie pierwsze.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź