XVI OM - III - Zadanie 5

Punkty $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $ dzielą odpowiednio boki $ BC $, $ CA $, $ AB $ trójkąta $ ABC $ w stosunkach $ k_1 $, $ k_2 $, $ k_3 $. Obliczyć stosunek pól trójkątów $ A_1B_1C_1 $ i $ ABC $.

Rozwiązanie

Według założenia

\[<br />
\frac{A_1B}{A_1C} =k_1, \quad \frac{B_1C}{B_1A} =k_2, \quad \frac{C_1A}{C_1B} =k_1.<br />
\]

Stąd

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{split}<br />
\frac{A_1B}{BC} = \frac{k_1}{1+k_1}, \qquad \frac{A_1C}{BC} = \frac{1}{1+k_1},\\<br />
\frac{B_1C}{CA} = \frac{k_2}{1+k_2}, \qquad \frac{B_1A}{CA} = \frac{1}{1+k_2},\\<br />
\frac{C_1A}{AB} = \frac{k_3}{1+k_3}, \qquad \frac{C_1B}{AB} = \frac{1}{1+k_3}.<br />
\end{split}<br />
\]

Niech symbol $ p (ABC) $ oznacza pole trójkąta $ ABC $ (rys. 21). Ponieważ

\[<br />
p (ABC) = p (A_1B_1C_1) + p (AB_1C_1) + P (BA_1C_1) + p (CA_1B_1),<br />
\]

więc

\[<br />
\frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} =   1- \frac{p (AB_1C_1)}{p (ABC)} - \frac{p (BA_1C_1)}{p (ABC)} - \frac{p (CA_1B_1)}{p (ABC)}.<br />
\]

Stosując twierdzenie, że stosunek pól dwóch trójkątów mających wspólny kąt równa się stosunkowi iloczynów boków każdego trójkąta tworzących ten kąt, otrzymujemy

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} =   1- \frac{B_1A \cdot C_1A}{CA \cdot AB} - \frac{A_1B \cdot C_1B}{BC \cdot AB} - \frac{A_1C \cdot B_1C}{CA \cdot BC}.<br />
\]

Podstawienie do równości (2) wartości stosunków (1) daje równość

\[<br />
\frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} =   1- \frac{k_3}{(1+k_2)(1+k_3)} - \frac{k_1}{(1+k_1)(1+k_3)} - \frac{k_2}{(1+k_1)(1+k_2)};<br />
\]

po przekształceniu prawej strony otrzymujemy

\[<br />
\frac{p (A_1B_1C_1)}{p (ABC)} =    \frac{1+k_1k_2k_3}{(1+k_1)(1+k_2)(1+k_3)}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź