XV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br />
(1) \qquad l^3 + 2^3 + \ldots + n^3 = (1 + 2 + \ldots + n)^2<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{1} Stosujemy metodę indukcji. Gdy $ n = 1 $, równość (1) jest prawdziwa. Przypuśćmy, że jest ona prawdziwa dla pewnej liczby naturalnej $ n $. Wówczas jest ona również prawdziwa dla liczby $ n + 1 $. Istotnie, z założenia indukcyjnego wnioskujemy, że

\[<br />
(2) \qquad  1^3 + 2^3 + \ldots + n^3 + (n + 1)^3 =<br />
(1 + 2 + \ldots + n)^2 + (n + 1)^3<br />
\]

a ponieważ

\[<br />
(1 + 2 + \ldots + n)^2 = \left[ \frac{1}{2} n(n+1) \right]^2<br />
\]

więc z (2) otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
1^3 + 2^3 + & \ldots + (n + 1)^3 = \frac{1}{4} n^2 (n + 1)^2 + (n + 1)^3 =<br />
 (n + 1)^2 \left( \frac{1}{4} n^2 + n + 1 \right) =\\<br />
& \left[ \frac{(n+1)(n+2)}{2} \right]^2 =<br />
\left[ 1 + 2 + \ldots + (n+ 1) \right]^2<br />
\end{split}<br />
\]

Zatem równość (1) zachodzi dla każdego naturalnego $ n $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź