XV OM - I - Zadanie 2

Udowodnić następujące dwie cechy podzielności przez 7:
a) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ P $ utworzona w taki sposób: pierwszą od lewej strony cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 3 i do wyniku dodajemy drugą cyfrę; otrzymaną liczbę mnożymy przez 3 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.
b) Liczba naturalna $ N $ jest podzielna przez 7 wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 7 liczba $ Q $ utworzona w ten sposób, że ostatnią (od lewej strony) cyfrę liczby $ N $ mnożymy przez 5, do wyniku dodajemy przedostatnią cyfrę, otrzymaną liczbę mnożymy przez 5 i dodajemy do wyniku trzecią cyfrę od końca itd. aż do wyczerpania wszystkich cyfr.

Rozwiązanie

Niech $ a_0, a_1, \ldots, a_n $ oznaczają kolejne cyfry liczby $ N $ (od lewej strony). Wówczas

\[<br />
N = a_0 \cdot 10^n + a_1 \cdot 10^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \cdot 10 + a_n.<br />
\]

a) Według tekstu zadania liczba $ P $ jest $ (n+1) $-szą liczbą ciągu

\[<br />
P_0 = a_0,\ P_1 = a_0 \cdot 3 + a_1,\ P_2 = [a_0 \cdot 3 + a_1) \cdot 3 + a_2 = a_0 \cdot 3^2 + a_1 \cdot 3 + a_2, \ldots \textrm{itd.}<br />
\]

zatem

\[<br />
P = P_n = a_0 \cdot 3^n + a_1 \cdot 3^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \cdot 3 + a_n.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
(1) \qquad   N- P = a_0 (10^n-3^n) + a_1 (10^{n-1} - 3^{n-1}) + \ldots + a_{n-1} (10-3).<br />
\]

Ponieważ dla naturalnego $ k $

\[<br />
10^k - 3^k = (10-3) (10^{k-1} + 10^{k-2} \cdot 3 + \ldots + 3^{k-1}),<br />
\]

więc każdy wyraz prawej strony równości (1) jest podzielny przez $ 7 $. Liczba $ N - P $ jest zatem podzielna przez $ 7 $, skąd wynika, że $ N $ jest podzielne przez $ 7 $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ P $ jest podzielne przez $ 7 $.

b) Liczba $ Q $ jest liczbą ciągu

\[<br />
Q_0 = a_n,\ Q_1 = a_n \cdot 5 + a_{n-1}<br />
\]
\[<br />
 Q_2 = (a_n \cdot 5 + a_{n-1}) \cdot 5  + a_{n-2} = a_n \cdot 5^2 + a_{n-1} \cdot 5 + a_{n-2}<br />
\]

zatem

\[<br />
Q = a_n \cdot 5^n + a_{n-1} \cdot 5^{n-1} \ldots + a_1 \cdot 5 + a_0.<br />
\]

Otóż

\[<br />
N \cdot 5^n = a_0 \cdot 50^n + a_1 \cdot 5 \cdot 50^{n-1} + \ldots + a_{n-1} \cdot 5^{n-1} \cdot 50 + a_n \cdot 5^n<br />
\]

więc

\[<br />
(2) \qquad  N \cdot 5^n - Q = a_0 (50^n - 1) + a_1 \cdot 5 (50^{n-1}- 1) + \ldots +<br />
+ a_{n-1} \cdot 5^{n-1} (50-1).<br />
\]

Ponieważ dla naturalnego $ k $ liczba $ 50^k -1 $ jest podzielna przez $ 50 - 1 = 49 $, a tym samym przez $ 7 $, więc z równości (2) wynika, że liczba $ N \cdot 5^n-Q $ jest podzielna przez $ 7 $. Zatem liczby $ N \cdot 5^n $ i $ Q $, i tak samo liczby $ N $ i $ Q $ są bądź obie podzielne przez $ 7 $, bądź obie niepodzielne przez $ 7 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź