XV OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że punkty symetryczne do punktu przecięcia wysokości trójkąta $ ABC $ względem prostych $ AB, BC, CA $ leżą na okręgu opisanym na trójkącie $ ABC $.

Rozwiązanie

Niech $ S $ będzie punktem przecięcia wysokości $ AH $ i $ BK $ trójkąta $ ABC $, a $ S' $ - punktem symetrycznym do punktu $ S $ względem prostej $ AB $. Rozróżnimy trzy przypadki:

a) Kąty $ A $ i $ B $ trójkąta są ostre (rys. 1). Punkt przecięcia $ S $ prostych $ AH $ i $ BK $ leży wówczas po tej samej stronie prostej $ AB $, co punkt $ C $. Jeżeli kąt $ ACB $ jest prosty, to punkt $ S $ pokrywa się z punktem $ C $, więc $ \measuredangle AS'B = \measuredangle ACB $, wobec czego punkty $ S' $ i $ C $ leżą na okręgu o średnicy $ AB $. Jeżeli $ \measuredangle ACB \ne 90^\circ $, to punkty $ C $, $ H $, $ S $, $ K $ tworzą czworokąt, w którym kąty $ H $ i $ K $ są proste, więc $ \measuredangle HSK = 180^\circ - \measuredangle C $, a że $ \measuredangle AS'B = \measuredangle ASB = \measuredangle HSK $, więc $ \measuredangle AS'B = 180^\circ - \measuredangle C $. Ponieważ punkt $ S' $ leży po przeciwnej stronie prostej $ AB $ niż punkty $ S $ i $ C $, więc z ostatniej równości wnioskujemy, że $ S' $ leży na okręgu przechodzącym przez $ A $, $ B $ i $ C $.

b) Jeden z kątów trójkąta, np. kąt $ A $, jest rozwarty (rys. 2). Proste $ AH $ i $ BK $ przecinają się w punkcie $ S $ leżącym po przeciwnej stronie prostej $ AB $ niż punkt $ C $; punkt $ S' $ leży wobec tego po tej samej stronie prostej $ AB $, co punkt $ C $.

Trójkąty prostokątne $ AKS $ i $ AHC $ mają równe kąty przy wierzchołku $ A $, zatem również trzecie ich kąty są równe, tj. $ \measuredangle S = \measuredangle C $; lecz $ \measuredangle S' = \measuredangle S $, zatem $ \measuredangle S' = \measuredangle C $, stąd zaś wynika, że punkt $ S' $ leży na okręgu przechodzącym przez $ A $, $ B $ i $ C $.

c) Jeden z kątów $ A $ i $ B $, np. $ \measuredangle A $ jest prosty. W tym przypadku punkty $ S $ i $ S' $ pokrywają się z punktem $ A $; twierdzenie jest oczywiste.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź