XV OM - I - Zadanie 4

Na płaszczyźnie leży 5 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Dowieść, że wśród nich są cztery punkty będące wierzchołkami czworokąta wypukłego.

Rozwiązanie

Niech $ A $, $ B $, $ C $, $ D $, $ E $ oznaczają dane punkty. Ponieważ żadne trzy z nich nie są współliniowe, więc punkty $ A $, $ B $, $ C $ są wierzchołkami trójkąta, a każdy z punktów $ D $ i $ E $ leży bądź wewnątrz, bądź na zewnątrz tego trójkąta. Zachodzi zatem jeden z przypadków:

a) Punkty $ D $ i $ E $ leżą wewnątrz trójkąta $ ABC $. Prosta $ DE $ nie przechodzi przez żaden z wierzchołków $ A $, $ B $, $ C $, przecina zatem dwa boki trójkąta, np. $ AC $ w punkcie $ M $ i $ BC $ w punkcie $ N $ (rys. 3).

Możemy tak ustalić oznaczenia, że punkt $ D $ leży między punktami $ M $ i $ E $. Wówczas czworokąt $ ADEB $ jest wypukły, gdyż stwierdzamy łatwo, że dla każdego z boków $ AD $, $ DE $, $ EB $, $ BA $ pozostałe dwa wierzchołki czworokąta leżą po jednej stronie tego boku.

b) Jeden z punktów $ D $ i $ E $, np. punkt $ D $ leży wewnątrz trójkąta $ ABC $, $ A $ drugi, tj. $ E $, na zewnątrz tego trójkąta. Półproste $ DA $, $ DB $, $ DC $ dzielą płaszczyznę na $ 3 $ wypukłe obszary kątowe $ ADB $, $ BDC $, $ CDA $; punkt $ E $ leży wewnątrz jednego z nich, np. wewnątrz kąta $ BDC $. Czworokąt $ DBEC $ jest wypukły, gdyż jest częścią wspólną dwóch obszarów kątowych wypukłych $ BDC $ i $ BEC $.

c) Punkty $ D $ i $ E $ leżą na zewnątrz trójkąta $ ABC $. Jeżeli punkt $ D $ leży wewnątrz jednego z kątów wypukłych $ BAC $, $ CBA $, $ ACB $, np. wewnątrz kąta $ BAC $ (rys. 5), to czworokąt $ ABDC $ jest wypukły, jako część wspólna wypukłych obszarów kątowych $ BAC $ i $ BDC $.

Jeśli zaś punkt $ D $ leży w jednym z kątów wierzchołkowych do kątów trójkąta, np. wewnątrz kąta wierzchołkowego do kąta $ A $, to punkt $ A $ leży wewnątrz trójkąta $ BDC $ (rys. 6), wobec czego mamy przypadek analogiczny do przypadku a) lub do przypadku b), dla których dowód już przeprowadziliśmy poprzednio.

Uwaga. Figurę $ F $ nazywamy wypukłą, jeżeli każdy odcinek, którego końce należą do figury $ F $, zawiera się cały w figurze $ F $. Z tego określenia wynika bezpośrednio, że punkty wspólne dwóch lub więcej figur wypukłych tworzą również figurę wypukłą. Łatwe uzasadnienie tego twierdzenia pozostawiamy Czytelnikowi.

Jeżeli $ AB $ jest bokiem wielokąta wypukłego $ W $, to wszystkie punkty tego wielokąta, z wyjątkiem punktów boku $ AB $, leżą po jednej stronie prostej $ AB $. Istotnie, gdyby punkty $ C $ i $ D $ wielokąta $ W $ leżały po przeciwległych stronach prostej $ AB $, to łącząc punkty $ C $ i $ D $ odcinkami z punktami $ A $ i $ B $, otrzymalibyśmy czworokąt $ ACBD $, którego wszystkie boki należałyby do $ W $; zatem cały czworokąt $ ACBD $ zawierałby się w $ W $, wobec czego jego przekątna $ AB $ nie mogłaby być bokiem wielokąta $ W $.

Odwrotnie, jeżeli cały wielokąt $ W $ leży po jednej stronie każdej prostej zawierającej jeden jego bok, z wyjątkiem punktów tego boku, to wielokąt $ W $ jest wypukły. Gdyby bowiem na odcinku $ PQ $ łączącym punkty $ P $ i $ Q $ wielokąta $ W $ znajdował się jakiś punkt $ M $ nie należący do wielokąta $ W $, to odcinek $ PM $ miałby jakiś punkt wspólny z obwodem wielokąta, dajmy na to z bokiem $ AB $, a w takim razie punkty $ P $ i $ Q $ nie leżałyby po tej samej stronie prostej $ AB $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź