XV OM - I - Zadanie 5

Dowieść następujących twierdzeń, w których, $ m $ i $ n $ oznaczają liczby naturalne.
1. Jeżeli $ m > 1 $, a $ m^n-1 $ jest liczbą pierwszą, to $ n $ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.
2. Jeżeli $ n > 1 $, a $ m^n- 1 $ jest liczbą pierwszą, to $ m = 2 $, a $ n $ jest liczbą pierwszą.

Rozwiązanie

1. Przypuśćmy, że $ n $ nie jest potęgą liczby $ 2 $ o wykładniku całkowitym. W takim razie $ n $ posiada dzielnik nieparzysty większy od $ 1 $, np. $ 2p+1 $; gdzie $ p $ jest liczbą naturalną, zatem $ n = k (2p + 1) $, gdzie $ k $ jest liczbą naturalną mniejszą od $ n $. Wówczas

\[<br />
m^n + 1 = m^{k(2p+1)} + 1 = (m^k)^{2p+1} + 1^{2p+1}<br />
\]

zatem $ m^n+1 $ jest podzielne przez $ m^k+1 $. Lecz z nierówności $ m > 1 $, $ k <n $ wynika, że

\[<br />
1 < m^k + 1 < m^n + 1<br />
\]

wobec czego $ m^n+1 $ nie jest liczbą pierwszą. Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem twierdzenia; przypuszczenie, że $ n $ nie jest potęgą całkowitą liczby $ 2 $ jest zatem fałszywe.

2. Stwierdzamy najpierw, że $ m > 1 $, gdyż dla $ m = 1 $ liczba $ m^n- 1 $ równałaby się zeru, a więc nie byłaby liczbą pierwszą. Ponieważ

\[<br />
m^n - 1 = m^n - 1^n,<br />
\]

więc $ m^n-1 $ jest podzielne przez $ m-1 $. Otóż $ m^n- 1 $ jest według założenia liczbą pierwszą, a $ m-1 < m^n -1 $, gdyż $ n > 1 $, wobec tego $ m- 1= 1 $, tzn. $ m = 2 $ i $ m^n-1 = 2^n-1 $. Gdyby $ n $ nie było liczbą pierwszą, to zachodziłaby równość $ n = p \cdot q $, gdzie $ p $ i $ q $ oznaczają liczby naturalne większe od $ 1 $. Wtedy byłoby $ 2^n-1 = 2^{pq}- 1 = (2^p)^q - 1^q $, więc $ 2^n-1 $ byłoby podzielne przez $ 2^p-1 $, co jest niemożliwe, gdyż $ 1 < p < n $, więc

\[<br />
1 < 2^p - 1 < 2^n -1<br />
\]

a $ 2^n-1 $ jest według założeń liczbą pierwszą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź