XV OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki wielomian

\[<br />
P(x, y, z) = (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5<br />
\]

Rozwiązanie

Funkcję $ P (x, y, z) $ możemy traktować jako wielomian stopnia $ 5 $ względem $ x $. Wielomian ten dla $ x = y $ równa się zeru, jest on zatem podzielny przez $ x - y $. Analogicznie stwierdzamy, że $ P (x, y, z) $ jest podzielne przez $ y - z $ i przez $ z - x $. Zatem

\[<br />
(1) \qquad  P (x, y, z) = (x- y) (y - z) (z - x) \cdot Q (x, y, z)<br />
\]

gdzie $ Q (x, y, z) $ jest wielomianem stopnia drugiego zmiennych $ x $, $ y $, $ z $. Ponieważ wielomiany $ P (x, y, z) $ i $ (x - y)(y - z)(z - x) $ są jednorodne względem $ x $, $ y $, $ z $, a przy dowolnej permutacji zmiennych $ x $, $ y $, $ z $, bądź oba pozostają bez zmiany, bądź oba zmieniają znak, więc wielomian $ Q (x, y, z) $ będący ich ilorazem, jest jednorodny i symetryczny względem $ x $, $ y $, $ z $, tzn.

\[<br />
Q (x, y,z) = a (x^2 + y^2 + z^2) + b (xy + yz + zx).<br />
\]

Współczynniki $ a $ i $ b $ znajdziemy, podstawiając do równości (1) zamiast $ x $, $ y $, $ z $ wartości liczbowe. Na przykład dla $ x = 0 $, $ y = 1 $, $ z = - 1 $ otrzymamy z (1) równanie $ 2a-b = 15 $, biorąc zaś $ x = 0 $, $ y = 1 $, $ z = 2 $, otrzymamy $ 5a+2b = 15 $. Stąd $ a = 5 $, $ b = - 5 $, wobec czego

\[<br />
(2) \qquad  (x-y)^5 + (y-z)^5+(z-x)^5 = 5(x-y) (y-z) (z - x) (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx).<br />
\]

Trzeba jeszcze zbadać, czy wielomian $ x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx $ jest iloczynem czynników stopnia pierwszego.

Ponieważ wielomian ten jest jednorodny względem zmiennych $ x $, $ y $, $ z $, więc jego czynniki też musiałyby być jednorodne względem tych zmiennych i poszukiwany rozkład miałby postać

\[<br />
(3) \qquad  x^2 + y^2+ z^2 - xy - yz - zx = (mx + ny + pz) (m_1x + n_1y + p_1z)<br />
\]

Podstawiając do równości (3) $ y = 1 $, $ z = 0 $, otrzymujemy

\[<br />
(4) \qquad  x^2 - x + 1 = (mx + n) \cdot (m_1x + n_1).<br />
\]

Dla rzeczywistych wartości $ m $, $ n $, $ m_1 $, $ n_1 $ rozkład (4) jest niemożliwy, gdyż wyróżnik trójmianu $ x^2 - x + 1 $ jest ujemny. Zatem w zbiorze liczb rzeczywistych rozwiązanie zadania przedstawia wzór (2).

W zbiorze liczb zespolonych jest inaczej, gdyż

\[<br />
x^2 - x + 1 = (x + \varepsilon) (x + \varepsilon^2)<br />
\]

gdzie

\[<br />
\varepsilon = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}.<br />
\]

Stąd wnioskujemy, że jeżeli rozkład (3) jest możliwy, to istnieje rozkład postaci

\[<br />
(5) \qquad  x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = (x + \varepsilon y + pz) (x + \varepsilon^2y + p_1z).<br />
\]

Podstawiając do (5) wartości $ y = 0 $, $ z = 1 $, otrzymujemy

\[<br />
x^2 - x + 1 = (x + p) (x + p_1),<br />
\]

zatem albo: a) $ p = \varepsilon  $, $ p_1 = \varepsilon^2 $, albo b) $ p = \varepsilon^2 $, $ p_1 = \varepsilon  $.

Podstawiając te wartości do (5) stwierdzamy, że dla wartości a) równość (5) nie jest prawdziwa, zachodzi ona natomiast dla wartości b). Ostatecznie otrzymujemy wzór

\[<br />
(6) \qquad   (x - y)^5 + (y - z)^5 + (z - x)^5 = 5 (x - y) (y - z) (z - x)<br />
(x + \varepsilon y + \varepsilon^2z) (x + \varepsilon^2y + \varepsilon z).<br />
\]

Uwaga. Stosując rozumowanie analogiczne do powyższego, znajdziemy, że

\[<br />
x^2 + y^2 + z^2 + xy - yz + zx = (x - \varepsilon y - \varepsilon^2z) (x - \varepsilon^2y - \varepsilon z).<br />
\]

Natomiast wielomian $ x^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx $ jest nieprzywiedlny w zbiorze liczb zespolonych, tzn. nie jest iloczynem dwóch wielomianów stopnia pierwszego o współczynnikach zespolonych. Proponujemy Czytelnikowi szczegółowe przeprowadzenie dowodu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź