XV OM - I - Zadanie 7

Dany jest okrąg i wewnątrz niego punkty $ A $ i $ B $. Znaleźć na tym okręgu taki punkt $ P $, żeby kąt $ APB $ był oparty na cięciwie $ MN $ równej $ AB $. Czy zadanie posiada rozwiązanie, jeżeli dane punkty, lub tylko jeden z nich, leżą na zewnątrz okręgu?

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że punkt $ P $ danego okręgu $ C $ o promieniu $ r $ jest rozwiązaniem zadania (rys. 7).

Ponieważ punkty $ A $ i $ B $ leżą wewnątrz okręgu $ C $, więc punkty $ M $ i $ N $ leżą odpowiednio na półprostych $ PA $ i $ PB $ i kąt $ APB $ pokrywa się z kątem $ MPN $. Trójkąty $ APB $ i $ MPN $ mają równe podstawy $ AB= MN = a $ i wspólny kąt przy wierzchołku $ \measuredangle APB = \measuredangle MPN = \alpha $; stąd wynika, że okręgi opisane na tych trójkątach mają ten sam promień $ r = \frac{a}{2 \sin \alpha} $, punkt $ P $ leży zatem na okręgu o promieniu $ r $ przechodzącym przez punkty $ A $ i $ B $. Wobec tego konstrukcja poszukiwanego punktu jest następująca (rys. 7a). Budujemy okręgi o promieniu $ r $ przechodzące przez punkty $ A $ i $ B $. Ponieważ $ AB < 2r $, więc są $ 2 $ takie okręgi: $ K_1 $ i $ K_2 $. Jeżeli $ P $ jest punktem wspólnym okręgów $ K_1 $ i $ C $, bądź okręgów $ K_2 $ i $ C $, to $ P $ jest rozwiązaniem zadania. Istotnie, półproste $ PA $ i $ PB $ przecinają dany okrąg $ C $ w punktach $ M $ i $ N $; z trójkąta $ MPN $ mamy $ MN = 2r \sin \measuredangle MPN = 2r \sin \measuredangle APB $; lecz w trójkącie $ APB $ jest $ \sin \measuredangle APB = AB \colon 2r $, zatem $ MN = AB $.

Każdy z okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $ przecina okrąg $ C $ w dwóch punktach; jeśli bowiem $ O_1 $ i $ O_2 $ są środkami okręgów $ K_1 $ i $ K_2 $, to

\[<br />
0 < OO_1 \leq OA + AO_1 < 2r,<br />
\]

gdyż $ OA < r $, $ AO_1 = r $; podobnie $ 0 < OO_2 < 2r $.

Zadanie ma zatem $ 4 $ rozwiązania.

Zbadajmy, czy powyższe rozumowanie pozostaje słuszne dla dowolnego położenia punktów $ A $ i $ B $. Jeżeli punkt $ P $ jest rozwiązaniem zadania, to punkty $ M $ i $ N $ leżą wówczas na prostych $ PA $ i $ PB $, ale niekoniecznie na półprostych $ PA $ i $ PB $, więc kąt $ MPN $ pokrywa się bądź z kątem $ APB $, bądź z kątem przyległym do kąta $ APB $. Wniosek, że trójkąty $ APB $ i $ MPN $ mają ten sam promień koła opisanego, pozostaje w mocy, wobec czego punkt $ P $ leży jak poprzednio na okręgu o promieniu $ r $ przechodzącym przez $ A $ i $ B $. Odwrotnie, jeżeli punkt $ P $ jest punktem wspólnym danego okręgu z okręgiem $ K $ o promieniu $ r $ przechodzącym przez $ A $ i $ B $, to punkt ten, o ile jest różny od $ A $ i od $ B $, jest rozwiązaniem zadania, co stwierdzamy tak samo, jak poprzednio.

Aby taki punkt $ P $ istniał, powinny być spełniono następujące warunki:

1. Musi istnieć okrąg o promieniu $ r $ przechodzący przez punkty $ A $ i $ B $; zachodzi to wtedy, gdy $ AB \leq 2r $. Jeżeli $ AB < 2r $, są dwa takie okręgi $ K_1 $ i $ K_2 $ o środkach $ O_1 $ i $ O_2 $. Jeżeli $ AB = 2r $, jest jeden taki okrąg: $ K_1 = K_2 $, $ O_1 = O_2 $.

2. Musi istnieć punkt wspólny okręgu $ K_1 $ lub $ K_2 $ z danym okręgiem $ C $, różny od $ A $ i $ B $.

Poniższa tabelka podaje liczbę rozwiązań dla różnych przypadków położenia punktów $ A $ i $ B $.

\[<br />
\begin{array}{|c|c|c|c|}<br />
\hline<br />
&<br />
\textrm{Położenie punktów } $A$ \textrm{ i } B &<br />
\begin{array}{c}<br />
\textrm{Liczba rozwiązań,}\\<br />
\textrm{gdy } AB < 2r<br />
\end{array} &<br />
\begin{array}{c}<br />
\textrm{Liczba rozwiązań,}\\<br />
\textrm{gdy } AB = 2r<br />
\end{array} \\<br />
\hline<br />
1. & A \textrm{ i } B \textrm{ wewnątrz } C & 4 & - \\<br />
2. & A \textrm{ wewnątrz } C, B \textrm{ na }  C & 2 & - \\<br />
3. & A \textrm{ wewnątrz }, B \textrm{ na zewnątrz } C & 4 & 2 \\<br />
4. & A \textrm{ i } B \textrm{ na } C & \textrm{nieskończenie wiele} & \textrm{nieskończenie wiele} \\<br />
5. & A \textrm{ na } C, B \textrm{ na zewnątrz } C & 2 & 1 \\<br />
6. & A \textrm{ i } B \textrm{ na zewnątrz } C & 4, 3, 2, 1 \textrm{ lub } 0 &  2, 1 \textrm{ lub } 0 \\<br />
\hline<br />
\end{array}<br />
\]

Proponujemy Czytelnikowi opracowanie szczegółowego uzasadnienia powyższych danych dla każdego z przypadków 2-6 oraz zrobienie odpowiednich rysunków.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź