XV OM - I - Zadanie 8

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

Rozwiązanie

Niech $ ABCD $ będzie podstawą sześcianu oraz $ AA_1 $, $ BB_1 $, $ CC_1 $ , $ DD_1 $ jego krawędziami prostopadłymi do $ ABCD $. Niech $ X $, $ Y $, $ Z $ będą punktami obranymi na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu. Wiadomo, że obracając sześcian dokoła pewnych osi, przechodzących przez jego środek, można nałożyć sześcian na siebie w ten sposób, że dowolnie obrana krawędź pokryje dowolną inną krawędź. Możemy więc bez szkody dla ogólności rozumowania przyjąć, że punkt $ X $ leży na krawędzi $ A_1 $. Krawędziami skośnymi do $ AA_1 $$ BC $, $ CD $, $ B_1C_1 $, $ C_1D_4 $. (rys. 8); spośród nich wzajemnie skośne są $ BC $ i $ C_1D_1 $ oraz $ B_1C_1 $ i $ CD $. Mamy więc dwie trójki krawędzi parami skośnych: $ AA_1 $, $ BC $, $ C_1D_1 $ i $ AA_1 $, $ B_1C_1 $, $ CD $, przy czym przechodzą one jedna na drugą przy przekształceniu sześcianu przez symetrie względem płaszczyzny $ AA_1C_1C $, będącej płaszczyzną symetrii sześcianu. Możemy więc przyjąć, że rozważaną trójką krawędzi parami skośnych jest trójka $ AA_1 $, $ BC $, $ C_1D_1 $ i że np. punkt $ Y $ leży na $ BC $ a punkt $ Z $ na $ C_1D_1 $. Niech $ AX = x $, $ BY = y $, $ C_1Z = z $, $ AA_1 = a $. Wówczas

\[<br />
XY^2 = a^2 + x^2 + y^2,<br />
\]
\[<br />
YZ^2 = (a - y)^2 + a^2 + z^2,<br />
\]
\[<br />
ZX^2 = a^2 + (a - x)^2 + (a - z)^2,<br />
\]

zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
XY^2 + YZ^2 + ZX^2 & =<br />
2(x^2 + y^2 + z^2) - 2a(x + y + z) + 6a^2 = \\<br />
& = 2 [( x- \frac{a}{2} )^2 + (y-\frac{a}{2})^2 + (z- \frac{a}{2} )^2 + \frac{9}{4} a^2 ].<br />
\end{split}<br />
\]

Z otrzymanego wzoru jest widoczne, że suma kwadratów boków trójkąta $ XYZ $ osiąga minimum, gdy $ x= y = z = \frac{a}{2} $, tj. gdy punkty $ X $, $ Y $, $ Z $ obierzemy w środkach odpowiednich krawędzi. Minimum to równa się $ \frac{9}{2} a^2 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź