XV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że iloraz sumy wszystkich dzielników naturalnych liczby calkowitej $ n > 1 $ przez liczbę tych dzielników jest większy od $ \sqrt{n} $.

Rozwiązanie

Niech $ d_1, d_2, \ldots, d_s $ oznaczają wszystkie dzielniki naturalne danej liczby całkowitej $ n > 1 $. Wśród tych dzielników znajdują się na pewno liczby nierówne, na przykład $ 1 $ i $ n $. Według nierówności Cauchy'ego średnia arytmetyczna liczb dodatnich, które nie są wszystkie sobie równe, jest większa od średniej geometrycznej tych liczb, zatem

\[<br />
(1) \qquad  \frac{d_1 + d_2 + \ldots + d_s}{s} > (d_1d_2\ldots d_s)^{\frac{1}{s}}.<br />
\]

Udowodnimy, że prawa strona tej nierówności jest równa $ \sqrt{n} $.W tym celu rozróżnimy dwa przypadki:

1. Liczba $ n $ nie jest kwadratem liczby całkowitej. W zbiorze liczb $ d_1, d_2, \ldots, d_s $ do każdej liczby $ d_i $ istnieje wówczas różna od niej liczba $ d_k = \frac{n}{d_i} $, wobec czego liczba $ s $ jest parzysta i zbiór $ \{d_1,d_2, \ldots,d_s\} $ można podzielić na $ \frac{s}{2} $ takich par, że iloczyn liczb każdej pary równa się $ n $. W takim razie

\[<br />
(d_1d_2 \ldots d_s)^\frac{1}{s} = \left( n^{\frac{s}{2}} \right)^{\frac{1}{s}} = n^{\frac{1}{2}}.<br />
\]

2. Liczba $ n $ jest kwadratem liczby naturalnej $ d_r $. Do każdej liczby $ d_i $ zbioru $ \{d_1, d_2, \ldots, d_s\} $ różnej od $ d_r $ istnieje wówczas liczba $ d_k = \frac{n}{d_i} $ różna od $ d_i $, wobec czego liczba $ s - 1 $ jest parzysta i zbiór liczb $ \{ d_1, \ldots d_{r-1}, d_{r+1} \ldots, d_s\} $ można podzielić na $ \frac{s-1}{2} $ par o iloczynie równym $ n $. W takim razie

\[<br />
(d_1 d_2 \ldots d)^{\frac{1}{s}} =  (n^{\frac{s-1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} )^{\frac{1}{s}} = n^{\frac{1}{2}}.<br />
\]

Wobec nierówności (1) w każdym z przypadków 1 i 2 zachodzi nierówność

\[<br />
\frac{d_1 + d_2 + \ldots + d_s}{s} > n^{\frac{1}{2}}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź