XV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć $ n $-ty wyraz ciągu liczb $ a_1, a_2, a_n, \ldots $, w którym $ a_1 = 1 $, $ a_2 = 3 $, $ a_3 = 6 $ oraz dla każdego naturalnego $ k $

\[<br />
(1) \qquad a_{k-3}-3a_{k-2}+3a_{k-1}-a_k=0.<br />
\]

Rozwiązanie

Równość (1) możemy napisać w postaci

\[<br />
(a_{k+3} - a_{k+2}) - 2 (a_{k+2} - a_{k+1}) + (a_{k+1} -a_k) = 0.<br />
\]

Oznaczmy $ a_{i+1} - a_i = r_i $ dla $ i = 1, 2, 3, \ldots $; według powyższej równości, $ r_{k+2} - 2r_{k+1} + r_k = 0 $, skąd $ r_{k+2} - r_{k+1}= r_{k+1} - r_k $.

Ciąg różnic $ r_k $ jest więc postępem arytmetycznym. Ponieważ $ r_1 = a_2 - a_1 = 2 $ oraz $ r_2 = a_3 - a_2 = 3 $, więc różnica tego postępu jest równa $ r_2 - r_1 = 1 $. Stąd wynika, że dla każdego naturalnego $ k $ jest $ r_k = r_1 + (k - 1) \cdot 1 = k + 1 $, zatem

\[<br />
a_{k+1} = a_k + k + 1<br />
\]

dla każdego naturalnego $ k $. Stąd wynika łatwo (np. przez indukcję), że $ a_n $ jest sumą liczb naturalnych od $ 1 $ do $ n $:

\[<br />
a_n = 1 + 2 + \ldots + n = \frac{1}{2} n (n + 1).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź