XV OM - I - Zadanie 11

W trójkącie $ ABC $ kąt $ A $ wynosi $ 20^\circ $, $ AB = AC $. Na bokach $ AB $ i $ AC $ obrano takie punkty $ D $ i $ E $, że $ \measuredangle DCB = 60^\circ $ a $ \measuredangle EBC = 50^\circ $. Obliczyć kąt $ EDC $.

Rozwiązanie

Niech $ \measuredangle EDC = x $ (rys. 9). Zauważmy, że $ \measuredangle ACB = \measuredangle  $ABC$  = 80^\circ $, $ \measuredangle CDB = 180^\circ-80^\circ-60^\circ = 40^\circ $, $ \measuredangle CEB = 180^\circ - 80^\circ-50^\circ = \measuredangle EBC $, wobec czego $ EC = CB $. Stosunek $ \frac{DC}{CE} $ boków trójkąta $ EDC $ równa się stosunkowi boków $ \frac{DC}{CB} $ trójkąta $ BDC $, wobec czego równe są w tych trójkątach stosunki sinusów kątów leżących naprzeciw odpowiednich boków:

\[<br />
\frac{\sin \measuredangle DEC}{\sin \measuredangle EDC}=<br />
\frac{\sin \measuredangle CBD}{\sin \measuredangle CDB} \textrm{ tj. }<br />
\frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ}.<br />
\]

Prawą stronę otrzymanego równania możemy przekształcić:

\[<br />
\frac{\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} =<br />
\frac{2 \sin 40^\circ \cos 40^\circ}{\sin 40^\circ} =<br />
\frac{\cos 40^\circ}{\frac{1}{2}} = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 40^\circ}.<br />
\]

Mamy zatem znaleźć kąt wypukły $ x $ spełniający równanie

\[<br />
(1) \qquad  \frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin 50^\circ}{\sin 30^\circ}<br />
\]

lub równanie

\[<br />
\sin (x + 20^\circ) \cdot \sin 30^\circ = \sin 50^\circ \cdot \sin x.<br />
\]

Przekształcając iloczyny sinusów na różnice cosinusów, otrzymujemy równanie równoważne

\[<br />
\cos (x - 10^\circ) = \cos (50^\circ - x), \textrm{ stąd } x - 10^\circ = k \cdot 360^\circ \pm (50^\circ - x).<br />
\]

Uwzględniając warunek $ 0 < x < 180^\circ $, otrzymujemy $ x = 30^\circ $.

Uwaga. Ostatnią część rozwiązania można trochę skrócić. Mianowicie z postaci równania (1) jest widoczne od razu, że ma ono pierwiastek $ x = 30^\circ $. Żaden inny kąt wypukły nie czyni zadość temu równaniu; jeżeli bowiem

\[<br />
\frac{\sin (x + 20^\circ)}{\sin x} = \frac{\sin (y + 20^\circ)}{\sin y}<br />
\]

to

\[<br />
\frac{\sin x \cos 20^\circ + \cos x \sin 20^\circ}{\sin x} =<br />
\frac{\sin y \cos 20^\circ + \cos y \sin 20^\circ}{\sin y},<br />
\]

więc

\[<br />
\ctg x = \ctg y,<br />
\]

zatem, gdy $ 0 < x < 180^\circ $ i $ 0 < y < 180^\circ $, to $ x = y $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź