XV OM - I - Zadanie 12

Czworościan $ ABCD $ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $ D $, przez punkt $ M $ krawędzi $ AB $ i przez punkt $ N $ krawędzi $ BC $. Dowieść, że pole trójkąta $ DMN $ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $ DAB $, $ DBC $, $ DCA $.

Rozwiązanie

Twierdzenie, które mamy udowodnić można uważać za odpowiednik przestrzenny następującego twierdzenia z geometrii płaszczyzny:

Odcinek $ CM $ łączący wierzchołek $ C $ trójkąta $ ABC $ z punktem wewnętrznym $ M $ podstawy $ AB $ tego trójkąta jest mniejszy od któregoś z boków $ AC $ i $ BC $.

Krótki dowód tego twierdzenia znajdziemy, stosując metodę sprowadzenia do sprzeczności. Przypuśćmy, że $ CM \geq AC $ i $ CM \geq BC $. W trójkątach $ ACM $ i $ BCM $ jest wówczas $ \measuredangle AMC \leq \measuredangle MAC $, $ \measuredangle BMC \leq \measuredangle MBC $, zatem

\[<br />
\measuredangle AMC + \measuredangle BMC \leq \measuredangle MAC + \measuredangle MBC < 180^\circ,<br />
\]

co jest sprzeczne z tym, że $ \measuredangle AMC $ i $ \measuredangle BMC $ są kątami przyległymi.

Tezę tego twierdzenia można sformułować nieco inaczej. Zdanie: ,,liczba $ x $ jest mniejsza od którejś z liczb $ a, b, \ldots $'' jest równoważne zdaniu ,,liczba $ x $ jest mniejsza od największej z liczb $ a, b, \ldots $''. Niech symbol

\[<br />
\max (a, b, \ldots)<br />
\]

oznacza największą z liczb $ a, b, \ldots $; zamiast zdania, że odcinek $ CM $ jest mniejszy od któregoś z odcinków $ AC $ i $ BC $ możemy napisać krótko, że

\[<br />
CM \leq \max (AC, BC).<br />
\]

Zanotujmy kilka oczywistych własności liczby $ \max (a, b, \ldots) $, na które powołamy się w dalszym ciągu.

(a) Jeżeli $ d > 0 $, to $ \max (ad, bd, \ldots) = d \cdot \max (a,b, \ldots) $

(b) Jeżeli $ a_1 > a $, to $ \max (a, b, \ldots) \leq \max (a_1, b, \ldots) $

(c) Dla dowolnego $ k $ jest $ \max (a, b, \ldots) \leq \max (k, a, b, \ldots) $

(d) $ \max [a, b, \ldots, \max (c, d, \ldots)]= \max (a, b, \ldots, c, d, \ldots) $

Zauważmy ponadto, że wartość $ \max (a, b, \ldots) $ nie zależy od kolejności liczb $ a, b, \ldots $:

Proponujemy Czytelnikowi wyszukanie jeszcze innych własności liczby $ \max (a, b, \ldots) $, a także liczby $ \min (a, b, \ldots) $ tj. najmniejszej z liczb $ a, b, \ldots $.

Przejdźmy do postawionego zadania. Niech $ M $ będzie punktem krawędzi $ AB $, a $ N $ - punktem krawędzi $ BC $. Mamy dowieść, że

\[<br />
\textrm{ pole } DMN < \max (\textrm{pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DCA)<br />
\]

1. Rozważymy najpierw przypadek szczególny, gdy płaszczyzna $ DMN $ przechodzi przez jedną z krawędzi czworościanu, na przykład przez $ AD $; punkt $ M $ pokrywa się wówczas z punktem $ A $ (rys. 10).

Weźmy pod uwagę rzut całej figury na dowolną płaszczyznę prostopadłą do prostej $ AD $. Niech $ A' $ będzie wspólnym rzutem punktów $ A $ i $ D $ a $ B' $, $ C' $, $ N' $ niech będą odpowiednio rzutami punktów $ B $, $ C $ i $ N $.

Długości odcinków $ A'B' $, $ A'C' $, $ A'N' $ są równe odległościom prostej $ AA' $ od równoległych do niej prostych $ BB' $, $ CC' $, $ NN' $, więc są równe odległościom punktów $ B $, $ C $, $ N $ od prostej $ AA' $ czyli wysokościom trójkątów $ DAB $, $ DAC $, $ DAN $ o wspólnej podstawie $ AD $. Ponieważ, jak stwierdziliśmy wyżej,

\[<br />
A'N' < \max (A'B', A'C')<br />
\]

więc na mocy (a)

\[<br />
AD \cdot A'N' < AD \cdot \max (A'B', A'C') = \max (AD \cdot A'B', AD \cdot A'C'),<br />
\]

czyli

\[<br />
\textrm{ pole } DAN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DAC),<br />
\]

stąd na mocy (c)

\[<br />
\textrm{ pole } DAN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DAC).<br />
\]

2. Przypuśćmy z kolei, że płaszczyzna $ DMN $ nie przechodzi przez żadną krawędź czworościanu; $ M $ i $ N $ są wówczas punktami wewnętrznymi krawędzi $ AB $ i $ BC $ (rys. 11). Poprowadźmy płaszczyznę $ DMC $. Dla czworościanu $ DMBC $ przeciętego płaszczyzną $ DMN $ zachodzi wówczas przypadek 1; zatem

\[<br />
\textrm{ pole } DMN < \max (\textrm{ pole } DMB, \textrm{ pole } DMC, \textrm{ pole } DBC),<br />
\]

a ponieważ $ \textrm{ pole } DMB < \textrm{ pole } DAB $, więc na mocy (b)

\[<br />
\textrm{ pole } DMN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DMC, \textrm{ pole } DBC).<br />
\]

Analogicznie w czworościanie $ DABC $ przeciętym płaszczyzną $ DMC $

\[<br />
\textrm{ pole } DMC < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DCA).<br />
\]

Z dwóch ostatnich nierówności wynika, na mocy (a) i (d) nierówność

\[<br />
\textrm{ pole } DMN < \max (\textrm{ pole } DAB, \textrm{ pole } DBC, \textrm{ pole } DCA), \textrm{ c. n. d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź