XV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczba naturalną, a kąt $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^{\circ}}{2^n} $, to

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{\sin 2\alpha} + \frac{1}{\sin 4\alpha} + \frac{1}{\sin 8\alpha} +  \ldots + = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha.<br />
\]

Rozwiązanie

Zastosujemy indukcję zupełną.

1. Jeżeli $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ 90^\circ $, to

\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{\sin 2 \alpha} =<br />
\frac{2 \cos^2 \alpha - (2 \cos^2 \alpha - 1)}{\sin 2 \alpha} =<br />
\frac{2 \cos^2 \alpha}{ 2 \cos \alpha \sin \alpha} -<br />
\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2 \alpha} = \ctg \alpha - \ctg 2 \alpha<br />
\]

Twierdzenie, które mamy udowodnić, jest zatem prawdziwe, gdy $ n=1 $.

2. Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego naturalnego $ n $, tzn. że gdy $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^\circ}{2^n} $, to zachodzi wzór (1).

Załóżmy, że pewien kąt $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^\circ}{2^{n+1}} $; w takim razie $ \alpha $ nie jest również wielokrotnością kąta dwa razy większego, tj. kąta $ \frac{180^\circ}{2^{n}} $, wobec czego zachodzi, jak przypuściliśmy, wzór (1). Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
\frac{1}{\sin 2 \alpha} + & \frac{1}{\sin 4 \alpha} + \ldots + \frac{1}{\sin 2^n \alpha} = \ctg \alpha - \ctg 2^n \alpha + \frac{1}{\sin 2^{n+1} \alpha} =\\<br />
& = \ctg \alpha - \frac{2 (\cos 2^n \alpha)^2 - 1}{\sin 2^{n+1} \alpha} =<br />
\ctg \alpha - \frac{\cos 2^{n+1} \alpha}{\sin 2^{n+1} \alpha} =<br />
\ctg \alpha - \ctg 2^{n+1} \alpha.<br />
\end{split}<br />
\]

Z 1. i 2. wynika, że twierdzenie: jeżeli $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^\circ}{2^n} $, to zachodzi równość (1), jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Uwaga. Dowód indukcyjny tego samego twierdzenia można by przeprowadzić rozumując nieco inaczej.

Niech $ n $ będzie liczbą naturalną, $ \alpha $ zaś kątem nie równającym się wielokrotności $ \frac{180^\circ}{2^n} $. Wówczas dla żadnego naturalnego $ k \leq n $ kąt $ \alpha $ nie jest wielokrotnością $ \frac{180^\circ}{2^k} $, gdyż kąt $ \frac{180^\circ}{2^k} $ jest wielokrotnością kąta $ \frac{180^\circ}{2^n} $. W takim razie:

1. zachodzi wzór (2);

2. jeżeli dla pewnego naturalnego $ k < n $

\[<br />
\frac{1}{\sin 2 \alpha} + \frac{1}{\sin 4 \alpha} + \ldots + \frac{1}{\sin 2^k \alpha}  = \ctg \alpha - \ctg 2^k \alpha<br />
\]

to

\[<br />
\frac{1}{\sin 2 \alpha} + \frac{1}{\sin 4 \alpha} + \ldots + \frac{1}{\sin 2^k \alpha}  = \ctg \alpha - \ctg 2^{k+1} \alpha<br />
\]

co stwierdzamy, stosując taki sam rachunek, jak poprzednio.

Z 1. i 2. wynika, że zachodzi równość (1), c. n. d.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź