XV OM - II - Zadanie 2

Okrąg podzielono na cztery, nie zachodzące na siebie, luki $ AB $, $ BC $, $ CD $ i $ DA $. Dowieść, że odcinek, który łączy środki łuków $ AB $ i $ CD $ jest prostopadły do odcinka łączącego środki łuków $ BC $ i $ DA $.

Rozwiązanie

Niech $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ oznaczają odpowiednio środki łuków $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ (rys. 12).

Twierdzenie będzie dowiedzione, gdy wykażemy, że suma kątów wpisanych $ MNQ $ i $ PMN $ wynosi $ 90^\circ $. Kąt $ MNQ $ opiera się na łuku $ MAQ $ równym sumie łuków $ MA $ i $ AQ $, a kąt wpisany $ PMN $ jest oparty na łuku $ PCN $ równym sumie łuków $ PC $ i $ CN $. Ponieważ kąty wpisane w ten sam okrąg i oparte na równych łukach są równe, więc suma kątów wpisanych $ MNQ $ i $ PMN $ równa się kątowi wpisanemu w dany okrąg i opartemu na łuku równym sumie łuków $ MA $, $ AQ $, $ PC $, $ CN $. Otóż łuk $ MA $ = łuk $ MB $, łuk $ AQ $ = łuk $ QD $, łuk $ PC $ = łuk $ DP $, łuk $ CN $ = łuk $ NB $, zatem suma łuków $ MA $, $ AQ $, $ PC $, $ CN $ równa się sumie łuków $ MB $, $ QD $, $ DP $, $ NB $, wobec czego każda z tych sum równa się półokręgowi. Suma kątów wpisanych $ MNQ $ i $ PMN $ równa się kątowi wpisanemu opartemu na półokręgu, tzn. kątowi prostemu.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź