XV OM - II - Zadanie 3

Dowieść, że jeżeli trzy liczby pierwsze tworzą postęp arytmetyczny o różnicy niepodzielnej przez 6, to najmniejszą z tych liczb jest $ 3 $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że liczby pierwsze $ p_1 $, $ p_2 $, $ p_3 $ tworzą postęp arytmetyczny o różnicy $ r > 0 $ niepodzielnej przez $ 6 $, przy czym najmniejszą z nich jest $ p_1 $. Wówczas

\[<br />
p_2 = p_1 + r,\    p_3=p_1 + 2r.<br />
\]

Stąd wynika, że $ p_1 \geq 3 $, gdyby bowiem było $ p_1 = 2 $, liczba $ p_3 $ byłaby liczbą parzystą większą od $ 2 $, nie byłaby więc liczbą pierwszą. Wobec tego liczby $ p_1 $ i $ p_2 $ są nieparzyste, a liczba $ r $ równa różnicy $ p_2 - p_1 $ jest parzysta i zachodzi jeden z przypadków: $ r = 6k + 2 $ lub $ r = 6k + 4 $, gdzie $ k $ jest liczbą całkowitą $ \geq 0 $.

Udowodnimy, że $ p_1 $ jest podzielne przez $ 3 $. Istotnie, gdyby było $ p_1 = 3m + 1 $ ($ m $ - liczba całkowita) i $ r = 6k + 2 $, to wynikałoby stąd, że $ p_2 = 3m + 6k + 3 $ jest podzielne przez $ 3 $, a że $ p_2 > 3 $, więc $ p_2 $ nie byłoby liczbą pierwszą. Gdyby zaś było $ p_1 = 3m + 1 $, $ r_2 = 6k+4 $, to $ p_3 = 3m + 12k + 9 $ nie byłoby liczbą pierwszą. Podobnie z przypuszczenia, że $ p_1 = 3m + 2 $, $ r = 6k + 2 $ wynikałoby, że $ p_3 = 3m + 12k + 6 $ nie jest liczbą pierwszą, z przypuszczenia zaś, że $ p_1 = 3m +2 $, $ r = 6k + 4 $ otrzymalibyśmy $ p_2 = 3m + 6k + 6 $, a więc $ p_2 $ nie byłoby liczbą pierwszą.

Zatem $ p_1 $ jest liczbą pierwszą podzielną przez $ 3 $, tzn. $ p_1 = 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź