XV OM - II - Zadanie 4

Znaleźć liczby rzeczywiste $ x, y, z $ spełniające układ równań

\[<br />
\begin{split}<br />
(z - x)(x - y) &= a \\<br />
(x - y)(y - z) &= b \\<br />
(y - z)(z - x) &= c<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ a, b, c $ są danymi liczbami rzeczywistymi.

Rozwiązanie

Mnożąc równania układu (1), otrzymujemy

\[<br />
(x - y)^2(y - z)^2(z - x)^2 = abc.<br />
\]

Widzimy stąd, że układ (1) ma rozwiązanie rzeczywiste tylko wtedy, gdy

\[<br />
(2) \qquad  ABC \geq 0.<br />
\]

Załóżmy, że warunek (2) jest spełniony. Wówczas

\[<br />
(3) \qquad  (x - y) (y - z) (z - x) = \pm \sqrt{abc}.<br />
\]

Rozróżnimy 2 przypadki:

I. $ abc > 0 $, tzn. $ a \ne 0 $, $ b ne 0 $, $ c ne 0 $. Z równań (1) i (3) otrzymujemy układ równań stopnia pierwszego

\[<br />
(4) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
a(y - z) = \pm \sqrt{abc}\\<br />
b(z - x) = \pm \sqrt{abc}\\<br />
c(x - y) = \pm \sqrt{abc}<br />
\end{array}<br />
\]

Układ równań (4) jest równoważny układowi (1). Gdy na przykład pomnożymy stronami pierwsze dwa równania układu (4), otrzymamy równanie

\[<br />
ab (y - z) (z - x) = abc,<br />
\]

które po podzieleniu obu stron przez różną od zera liczbę $ ab $, daje trzecie równanie układu (1). Podobnie wynikają z układu (4) dwa pozostałe równania układu (1).

Mamy więc rozwiązać układ (4). Pomnóżmy równania tego układu odpowiednio przez $ bc $, $ ca $, $ ab $ i następnie dodajmy równania. Otrzymamy równość

\[<br />
\pm \sqrt{abc} (ab + bc + ca) = 0,<br />
\]

a po podzieleniu przez $ \pm \sqrt{abc} $ równość

\[<br />
(5) \qquad  ab + bc + ca = 0.<br />
\]

Równość (5) stanowi warunek konieczny istnienia rozwiązań danego układu równań w rozważanym przypadku I. Załóżmy, że warunek ten jest spełniony. Równania układu (4) nie są wówczas niezależne, każde z nich wynika z dwóch pozostałych. Możemy jedno z tych równań, np. trzecie, odrzucić; zostanie nam wówczas układ dwóch równań stopnia pierwszego z trzema niewiadomymi, który łatwo rozwiązać. Mianowicie wartość $ z $ można obrać dowolnie, a wartości $ x $ i $ y $ wyznaczyć z równań w zależności od $ z $. Rozwiązanie takie, aczkolwiek poprawne, nie byłoby zręczne, gdyż jedną z niewiadomych traktuje się wtedy inaczej, niż pozostałe, gdy tymczasem w układzie (4) żadna z niewiadomych nie jest wyróżniona. Postąpimy tedy w sposób inny, który tej wady nie posiada. Wprowadzimy w tym celu niewiadomą pomocniczą $ u $, dołączając do układu (4) równanie

\[<br />
(6) \qquad  x + y + z = u.<br />
\]

Nowy układ równań (4) i (6) możemy rozwiązać, wyznaczając każdą z niewiadomych $ x $, $ y $, $ z $ w zależności od $ u $. Łatwy rachunek prowadzi do wzorów

\[<br />
(7) \qquad<br />
\begin{split}<br />
x = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{c} - \frac{1}{b})\\<br />
y = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{a} - \frac{1}{c})\\<br />
z = \frac{1}{3} u \pm \frac{1}{3} \sqrt{abc} (\frac{1}{b} - \frac{1}{a}).<br />
\end{split}<br />
\]

Wzory (7), w których $ u $ oznacza dowolną liczbę, stanowią rozwiązanie układu (1) w przypadku I.

II. $ abc = 0 $; wówczas któraś z liczb $ a $, $ b $, $ c $ jest równa zeru. Łatwo jednak zauważyć, że jeżeli układ (1) ma rozwiązanie, to co najmniej dwie z tych liczb są zerami. Istotnie, jeśli np. $ a = 0 $, to z pierwszego z równań (1) wynika, że $ z - x = 0 $ lub $ x - y = 0 $. Z pozostałych zaś równań wynika, że gdy $ z - x = 0 $, to $ c = 0 $, a gdy $ x - y = 0 $, to $ b = 0 $. Możemy to sformułować w ten sposób, że w przypadku II rozwiązania mogą istnieć tylko wtedy, gdy zachodzi równość

\[<br />
(5) \qquad  ab + bc + ca = 0.<br />
\]

Załóżmy, że ten warunek jest spełniony. Niech np. $ a = 0 $ i $ b = 0 $; przypuśćmy, że $ x $, $ y $, $ z $ spełniają dany układ równań

\[<br />
(1a) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
(z - x) (x - y) = 0, \\<br />
(x - y) (y - z) = 0, \\<br />
(y - z) (z - x) = c.<br />
\end{array}<br />
\]

Dodając pierwsze dwa równania układu (1a), otrzymujemy $ (x - y) (y - x) = 0 $, skąd $ x = y $; wobec tego trzecie równanie możemy napisać w postaci $ (x - z) (z - x) = c $ lub $ (x - z)^2 = - c $, co daje nowy warunek rzeczywistości: $ c \leq 0 $. Analogicznie, gdy $ a = 0 $ i $ c = 0 $, wtedy musi być $ b \leq 0 $, a gdy $ b = 0 $ i $ c = 0 $, wtedy $ a \leq 0 $. Łącząc w jedno, powiemy, że w przypadku II rozwiązania rzeczywiste istnieją tylko wtedy, gdy

\[<br />
(8) \qquad  a + b + c \leq 0.<br />
\]

Jeżeli ten warunek jest spełniony, to układ (1) ma nieskończenie wiele rozwiązań, a mianowicie

\[<br />
(9) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
\textrm{Gdy } a = b = 0, \textrm{ wtedy } x = y = k,\ z = k \pm \sqrt{-c}  \textrm{ ($k$ - dowolne})\\<br />
\textrm{Gdy } a = c = 0, \textrm{ wtedy } x = z = k,\ y = k \pm \sqrt{-b} \textrm{ ($k$ -  dowolne})\\<br />
\textrm{Gdy } b = c = 0, \textrm{ wtedy } y = z = k,\ x = k \pm \sqrt{-a} \textrm{ ($k$ -  dowolne})\\<br />
\end{array}<br />
\]

Jeżeli $ a = b = c = 0 $, rozwiązania powyższe pokrywają się, tj. $ x = y = z = k $.

Powyższe wyniki możemy streścić, jak następuje:

Układ (1) ma rozwiązania rzeczywiste tylko wtedy, gdy spełnione są warunki

\[<br />
abc \geq 0 \textrm{ i }   ab + bc + ca = 0.<br />
\]

Jeżeli przy tym $ abc > 0 $, to rozwiązania wyrażają się wzorami (7). Jeżeli zaś $ abc = 0 $, to musi być jeszcze spełniony warunek

\[<br />
a + b + c \leq 0.<br />
\]

Rozwiązania przedstawione są wówczas wzorami (9).

Uwaga. Czytelnik zechce sprawdzić, że warunek (8) wynika z warunków $ abc > 0 $ i (5), ale nie wynika z warunków (2) i (5). Wobec tego twierdzenie poprzednie można wypowiedzieć w taki sposób:

Układ równań (1) posiada rozwiązania rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy

\[<br />
abc \geq 0, \  ab + bc + ca = 0, \   a + b + c \leq 0.<br />
\]

Rozwiązania wyrażają się wzorami (7), gdy $ abc > 0 $, a wzorami (9), gdy $ abc = 0 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź