XV OM - II - Zadanie 5

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $ SA $, $ SB $, $ SC $, którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $ SA $ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $ S $, jest trójkątem prostokątnym.

Rozwiązanie

Zauważmy najpierw, że jeżeli kąty trójścianu $ SABC $ są ostre, to płaszczyzna, prostopadła do którejś krawędzi trójścianu w punkcie różnym od $ S $, przecina pozostałe krawędzie w punktach różnych od $ S $, wobec czego przekrój trójścianu tą płaszczyzną jest trójkątem. Na przykład płaszczyzna poprowadzona przez punkt $ M $ krawędzi $ SA $, prostopadle do $ SA $, przecina krawędź $ SB $ w punkcie $ N $ określonym równością $ SN = \frac{SM}{\cos \measuredangle ASB} $.

Niech płaszczyzna $ \alpha $ przecina krawędzie $ SA $, $ SB $, $ SC $ trójścianu odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $ (różnych od $ S $). Udowodnimy, że jeżeli ta płaszczyzna jest prostopadła do jednej z krawędzi, to $ \measuredangle NMP $ jest prosty. Gdy $ \alpha \bot SA $, jest to oczywiste, gdyż $ \measuredangle NMP $ jest wówczas kątem liniowym kąta dwuściennego prostego. Gdy $ \alpha \bot SB $, to $ \alpha \bot \textrm{pł. } SAB $, a że $ \textrm{pł. } SAC \bot \textrm{pł. }SAB $, więc prosta przecięcia płaszczyzn $ \alpha $ i $ SAC $, tj. prosta $ MP $ jest prostopadła do płaszczyzny $ SAB $; prosta $ MP $ jest wobec tego prostopadła do prostej $ MN $ leżącej w płaszczyźnie $ SAB $, zatem $ \measuredangle NMP = 90^\circ $. W przypadku, gdy $ \alpha \bot SC $, dowód jest analogiczny (rys. 13).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź