XV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że nierówność

\[<br />
(1) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{\tan 3\alpha}{\tan \alpha} \leq 3<br />
\]

nie jest prawdziwa dla żadnej wartości $ \alpha $.

Rozwiązanie

Zastosujemy metodę sprowadzenia do sprzeczności. Przypuśćmy, że pewna liczba $ \alpha $ spełnia nierówność (1). W takim razie $ \alpha $ czyni zadość nierównościom

\[<br />
(2) \qquad  \alpha \ne k \cdot \frac{\pi}{2}<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  \alpha \ne k\pi + \frac{\pi}{6} \textrm{ i }<br />
       \alpha \ne k\pi - \frac{\pi}{6},<br />
\]

gdzie $ k $ oznacza dowolną liczbę całkowitą. Istotnie, gdy $ \alpha = k \cdot \frac{\pi}{2} $ ($ k $ = liczba całkowita), wtedy nie istnieje liczba $ \frac{1}{\tg \alpha} $, gdy zaś $ \alpha = k\pi \pm \frac{\pi}{6} $, wtedy $ 3 \alpha = 3k\pi \pm \frac{\pi}{2} $, więc nie istnieje liczba $ \tg 3 \alpha $; zatem w żadnym z tych przypadków liczba $ \alpha $ nie spełnia nierówności (1).

Wykażemy, że gdy $ \alpha $ spełnia warunki (2) i (3), wtedy

\[<br />
(4) \qquad  \frac{\tg 3\alpha}{\tg \alpha} = \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha}.<br />
\]

Wiadomo z trygonometrii, że

\[<br />
(5) \qquad<br />
\tg 3 \alpha = \frac{\tg \alpha (3 - \tg^2 \alpha)}{1 - 3 \tg^2 \alpha}<br />
\]

dla wszystkich takich wartości $ \alpha $, dla których istnieje $ \tg \alpha $ i $ \tg 3\alpha $ (wobec czego $ 1 - 3 \tg^2 \alpha 0 $), tzn. dla wszystkich wartości $ \alpha $ czyniących zadość nierównościom (3) i nierówności

\[<br />
(6) \qquad  \alpha \ne (2k + 1) \cdot \frac{\pi}{2}<br />
\]

dla każdego całkowitego $ k $.

Jeżeli prócz tego $ \tg \alpha \ne 0 $, tzn. gdy

\[<br />
(7) \qquad  \alpha \ne k \pi\  \textrm{ ($k$ - dowolna liczba całkowita})<br />
\]

to z równości (5) wynika równość (4). Otóż liczba $ \alpha $ spełnia warunki (2) i (3), więc spełnia także nierówności (6) i (7), zatem istotnie zachodzi równość (4).

Z (1) i (4) wynika, że

\[<br />
\frac{1}{3} \leq \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} \leq 3.<br />
\]

Liczba $ \alpha $ spełnia więc dwie nierówności

\[<br />
(8) \qquad  \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} \geq \frac{1}{3}<br />
\]
\[<br />
(9) \qquad  \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1-3 \tg^2 \alpha} \leq 3.<br />
\]

Z nierówności (8) wynika kolejno, że

\[<br />
\frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} - \frac{1}{3} \geq 0,\<br />
\frac{8}{3(1 - 3 \tg^2 \alpha)} \geq 0,<br />
\]

a stąd

\[<br />
(10) \qquad  1 - 3 \tg^2 \alpha >0.<br />
\]

Z nierówności (9) wynika zaś, że

\[<br />
\frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} - 3 \leq 0,\<br />
\frac{8 \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} \leq 0,<br />
\]

więc

\[<br />
(11) \qquad  \tg^2 \alpha = 0 \textrm{ lub }    1 - 3 \tg^2 \alpha < 0.<br />
\]

Wreszcie z warunków (10) i (11) wynika, że $ \tg^2 \alpha = 0 $, zatem $ \tg \alpha = 0 $, wobec czego

\[<br />
(12) \qquad  \alpha = n \pi\ \textrm{ (n - liczba całkowita}).<br />
\]

Wniosek (12) jest sprzeczny z nierównością (2), gdy $ k = 2n $. Przypuszczenie, że istnieje liczba $ \alpha $ spełniająca nierówność (1) jest więc fałszywe.

Uwaga 1. Rozwiązanie zadania można ująć inaczej. Zamiast zakładać, że istnieje liczba $ \alpha $ spełniająca nierówność (1) i wysnuwać stąd łańcuch wniosków prowadzących do sprzeczności, potraktujemy (1) jako układ dwóch nierówności z niewiadomą $ \alpha $ i spróbujemy rozwiązać ten układ sposobem zastępowania go przez równoważne mu, ale coraz prostsze układy.

Stwierdzamy najpierw, że układ (2) jest równoważny układowi

\[<br />
(1a) \qquad \frac{1}{3} \leq \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} \leq 3,\<br />
\alpha \ne n \pi \ \textrm{ (n - liczba naturalna }).<br />
\]

Istotnie, wiemy z poprzedniego rozwiązania, że jeżeli dla pewnego $ \alpha $ zachodzi (1), to spełniona jest równość (4), a wobec tego zachodzi (1a).

Odwrotnie, gdy dla pewnego $ \alpha $ zachodzą związki (1a), wtedy zachodzi (6), (2) i (3), zatem również (4), a wobec tego $ \alpha $ spełnia nierówność (1).

Przekształcając jak poprzednio nierówności (1a), stwierdzamy następujące równoważności

\[<br />
\frac{1}{3} \leq \frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha} \Longleftrightarrow<br />
\frac{8}{3(1 - 3 \tg^2 \alpha)} > 0<br />
\Longleftrightarrow<br />
1 - 3 \tg^2 \alpha > 0<br />
\]

oraz

\[<br />
\frac{3 - \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha}  \leq 3<br />
\Longleftrightarrow<br />
\frac{3 \tg^2 \alpha}{1 - 3 \tg^2 \alpha}  \leq 0<br />
\Longleftrightarrow<br />
1 - 3 \tg^2 \alpha < 0 \textrm{ lub } \alpha = n\pi \<br />
(n = 1 \textrm{ całkowita }).<br />
\]

Z powyższego wynika, że układ (1a) jest równoważny alternatywie układów

\[<br />
(1b) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
1 - 3 \tg^2 \alpha > 0\\<br />
1 - 3 \tg^2 \alpha < 0\\<br />
\alpha \ne n \pi<br />
\end{array}<br />
\quad \textrm{ lub }<br />
\nr{1c}<br />
\begin{array}{c}<br />
1 - 3 \tg^2 \alpha > 0\\<br />
\alpha  =  n \pi\\<br />
\alpha \ne n \pi<br />
\end{array}<br />
\]

Każdy z układów (1b) i (1c) jest sprzeczny, gdy zawiera dwa zdania sprzeczne ze sobą. Zatem układ (1) nie ma rozwiązań.

Uwaga 2. W rozwiązaniu zadania powołaliśmy się na twierdzenie z trygonometrii, że gdy istnieje $ \tg \alpha $ i $ \tg 3 \alpha $, tzn. gdy $ \alpha $ spełnia warunki (3) i (6), wtedy zachodzi równość (5). Twierdzenie to bywa w podręcznikach uzasadniane w następujący sposób:

Ponieważ $ \tg 2 \alpha = \frac{2 \tg \alpha}{1 - \tg^2 \alpha} $, więc

\[<br />
\tg 3 \alpha = \tg (2 \alpha  + \alpha) = \frac{\tg 2 \alpha + \tg \alpha}{1 - \tg \alpha \tg 2 \alpha} = \frac{2 \tg \alpha + \tg \alpha (1 - \tg^2 \alpha)}{(1 - \tg^2 \alpha) - 2\tg^2 \alpha}  = \frac{\tg \alpha (3 - \tg^2 \alpha)}{1 - 3 \tg^2 \alpha}.<br />
\]

Dowód taki zawiera lukę, gdyż z (3) i (6) nie wynika, że istnieje $ \tg 2 \alpha $, tj. że $ 2\alpha \ne (2p + 1) \frac{\pi}{2} $, czyli $ \alpha \ne (2p +<br />
1) \frac{\pi}{4} = p \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} $. Dla takich wartości $ \alpha $ dowód traci sens i twierdzenie pozostaje nieudowodnione. Lukę tę jednakże łatwo wypełnić sprawdzając przez podstawienie, że obie strony równości (4) są równe i wtedy, gdy $ \alpha = p \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} $. Stwierdzamy, że gdy $ p = 2k $, wtedy

\[<br />
\alpha = k\pi + \frac{\pi}{4},\<br />
\tg \alpha = 1, \<br />
\tg 3 \alpha = -1, \<br />
\frac{\tg \alpha (3 - \tg^2 \alpha)}{1- 3\tg^2 \alpha} = -1,<br />
\]

a gdy $ p = 2k + 1 $, to

\[<br />
\alpha = k\pi + \frac{3\pi}{4},\<br />
\tg \alpha = -1, \<br />
\tg 3 \alpha = 1, \<br />
\frac{\tg \alpha (3 - \tg^2 \alpha)}{1- 3\tg^2 \alpha} = 1,<br />
\]

Istotnie więc równość (4) jest prawdziwa dla każdego $ \alpha $ spełniającego warunki (3) i (6).

Uwaga 3. Twierdzenie, że wartości funkcji $ u = \frac{\tg 3 \alpha}{\tg \alpha} $ leżą na zewnątrz przedziału $ \left[ \frac{1}{3}, 3 \right] $ możemy zilustrować geometrycznie. Niech $ \tg^2 \alpha = t $, wówczas dla każdej wartości dodatniej $ t $, różnej od $ \frac{1}{3} $, zachodzi na mocy (4) równość

\[<br />
u = \frac{3-t}{1 - 3t}.<br />
\]

Wykres tej funkcji w układzie współrzędnych prostokątnych $ (t, u) $ przedstawia rys. 15. Jest to hiperbola równoosiowa o asymptotach $ u = \frac{1}{3} $ i $ t = \frac{1}{3} $, przy czym twierdzenie dotyczy tylko tej części hiperboli, która odpowiada wartościom dodatnim $ t $. Jest widoczne, że gdy $ t > 0 $, wtedy $ u < \frac{1}{3} $ bądź $ u > 3 $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź