XV OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $ a_1 < a_2 < \ldots < a_n $ i $ b_1 < b_2 < \ldots < b_n $, gdzie $ n \geq 2 $, to

\[<br />
(1) \qquad (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n) < n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n).<br />
\]

Rozwiązanie

\spos{1} a) Gdy $ n = 2 $, twierdzenie jest prawdziwe, gdyż

\[<br />
(a_1 + a_2) (b_1 + b_2) = a_1b_1 + a_1b_2 + a_2b_1 + a_2b_2 =<br />
2 (a_1b_1 + a_2b_2) - (a_1 - a_2) (b_1 - b_2),<br />
\]

a ponieważ $ (a_1 - a_2) (b_1 - b_2) > 0 $, więc

\[<br />
(a_1 + a_2) \cdot (b_1 + b_2) < 2 (a_1b_1 + a_2b_2).<br />
\]

b) Przypuśćmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego naturalnego $ n $ i niech $ a_1 < a_2 < \ldots < a_{n+1} $ oraz $ b_1 < b_2 < \ldots < b_{n+1} $.

Wówczas

\[<br />
\begin{split}<br />
&(a_1+ \ldots +a_n + a_{n+1}) (b_1 + \ldots + b_n + b_{n+1}) <\\<br />
& \qquad <n (a_1b_1 + \ldots  + a_nb_n)+ a_{n+1} (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) + \\<br />
&\qquad \qquad +<br />
(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) b_{n+1} + a_{n+1}b_{n+1} =\\<br />
& \qquad =<br />
n (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n) + (a_{n+1}b_1 + a_1b_{n+1}) + \\<br />
&\qquad\qquad<br />
+ (a_{n+1}b_2 + a_2b_{n+1})+ \ldots + (a_{n+1}b_n + a_nb{n+1}) + a_{n + 1}b_{n+ 1}.<br />
\end{split}<br />
\]

Zauważmy, że

\[<br />
a_{n+1}b_1 + a_1b_{n+1} = (a_1b_1 + a_{n+1} b_{n+1}) - (a_1 - a_{n+1})(b_1 - b_{n+1}) < a_1b_1 + a_{n+1} b_{n+1};<br />
\]

podobnie stwierdzamy, że zachodzą nierówności

\[<br />
a_{n+1}b_2 + a_2b_{n+1} < a_2b_2 + a_{n+1}b_{n+1}<br />
\]
\[<br />
\ldots\]
\[<br />
a_{n+1}b_n + a_nb_{n+1} < a_nb_n + a_{n+1} b_{n+1}.<br />
\]

Wobec tego z poprzedniej nierówności wnioskujemy, że

\[<br />
(a_1+ \ldots +a_n + a_{n+1}) (b_1 + \ldots + b_n + b_{n+1}) <<br />
(n+1) (a_1b_1 + \ldots + a_nb_n + a_{n+1}b_{n+1}).<br />
\]

Z a) i b) wynika na podstawie indukcji zupełnej, że twierdzenie jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n \geq 2 $.

Uwaga. Zachodzi twierdzenie ogólniejsze: Jeżeli $ a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n $ i $ b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_n $, to

\[<br />
(a_1 + a_2 + \ldots + a_n) (b_1 + b_2 + \ldots + b_n) \leq<br />
n (a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n),<br />
\]

przy czym równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy $ a_1 = a_2 = \ldots = a_n $, bądź $ b_1 = b_2 = \ldots = b_n $.

Nierówność ta bywa nazywana nierównością Czebyszewa.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź