XV OM - III - Zadanie 3

Dany jest czworościan $ ABCD $, którego krawędzie $ AB, BC, CD, DA $ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Rozróżnimy dwa przypadki:

a) $ AM = CN $, zatem również $ AQ = CP $. Trójkąty $ MBN $ i $ ABC $ są wówczas jednokładne względem punktu $ B $, więc $ MN \parallel AC $ i analogicznie $ QP \parallel AC $. Stąd $ QP \parallel MN $, zatem punkty $ MNPQ $ leżą w jednej płaszczyźnie.

b) $ AM \ne CN $, niech np. $ AM > CN $, zatem również $ AQ > CP $. (Rys. 17).

Równoległa do $ MN $ poprowadzona przez punkt $ C $ przecina wówczas odcinek $ AB $ w pewnym punkcie $ E $, a równoległa do $ PQ $ poprowadzona przez $ C $ przecina odcinek $ AD $ w pewnym punkcie $ F $. Ponieważ $ BM = BN $, a $ DP = DQ $, więc $ EM = CN = CP = QF $, wobec czego $ MQ \parallel EF $.

Proste $ PQ $, $ QM $, $ MN $ są odpowiednio równoległe do prostych $ CF $, $ FE $, $ EC $, więc płaszczyzny $ PQM $ i $ QMN $ są równoległe do płaszczyzny $ CFE $; ponieważ płaszczyzny te mają wspólną prostą $ QM $, więc się pokrywają, tzn. punkty $ P $, $ Q $, $ M $, $ N $ leżą w jednej płaszczyźnie.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź