XV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli pierwiastki równania $ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 $, o współczynnikach rzeczywistych, są rzeczywiste, to pierwiastki równania $ 3x^2 + 2ax + b = 0 $ też są rzeczywiste.

Rozwiązanie

Zadanie sprowadza się do wykazania, że z danych założeń wynika nierówność

\[<br />
(1) \qquad  a^2 - 3b \geq 0.<br />
\]

Niech $ x_1 $, $ x_2 $, $ x_3 $ oznaczają pierwiastki równania (2); według założenia są one liczbami rzeczywistymi.

Wiadomo, że

\[<br />
a = - (x_1 + x_2 + x_3),\<br />
b = x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1.<br />
\]

Stąd

\[<br />
\begin{split}<br />
a^2 - 3b &= (x_1 + x_2 + x_3)^2 - 3 (x_1x_3 + x_2x_3 + x_3x_1) =\\<br />
&=x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - x_1x_2 - x_2x_3 - x_3x_1) =\\<br />
&= \frac{1}{2} [(x_1 -x_2)^2 + (x_2 - x_3)^2 + (x_3 - x_1)^2] \geq 0.<br />
\end{split}<br />
\]

Uwaga. Korzystając z elementarnych wiadomości o pochodnych można zadanie rozwiązać znacznie prościej. Wystarczy zauważyć, że funkcja $ 3x^2 + 2ax + b $ jest pochodną funkcji $ x^3 + ax^2 + bx + c $ i zastosować twierdzenie, że pomiędzy dwoma pierwiastkami funkcji różniczkowalnej leży jakiś pierwiastek pochodnej tej funkcji, oraz że pierwiastek wielokrotny funkcji jest jednocześnie pierwiastkiem tej pochodnej.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź