XV OM - III - Zadanie 5

Dany jest kąt ostry i okrąg położony wewnątrz tego kąta. Wyznaczyć na danym okręgu taki punkt $ M $, żeby suma odległości punktu $ M $ od ramion kąta była najmniejsza.

Rozwiązanie

\spos{1} Niech $ \measuredangle AOB = \delta $ (rys. 19) będzie danym kątem, $ M $ dowolnym punktem, danego okręgu, a $ MN = d_1 $ i $ MP = d_2 $ odległościami punktu $ M $ od półprostych $ OA $ i $ OB $. Przyjmijmy oznaczenia $ MO = d $, $ \measuredangle MOA = \alpha $, $ \measuredangle MOB = \beta $; przypuśćmy, że $ \alpha \geq \beta $.

Wówczas

\[<br />
d_1 = d \sin \alpha, \     d_2 = d \sin \beta.<br />
\]

Stąd

\[<br />
d_1 + d_2 = d (\sin \alpha + \sin \beta) = 2d \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cdot \cos \frac{\alpha - \beta}{2} = 2 \sin \frac{\delta}{2} \cdot d \cos \frac{\alpha - \beta}{2}.<br />
\]

Suma $ d_1 + d_2 $ ma najmniejszą wartość wtedy, gdy iloczyn $ d \cos \frac{\alpha - \beta}{2} $ jest najmniejszy. Ten iloczyn wyraża długość rzutu $ OM' $ odcinka $ OM $ na prostą, tworzącą z $ OM $ kąt równy $ \frac{\alpha - \beta}{2} $, tj. na dwusieczną $ OC $ kąta $ AOB $. Poszukiwanym punktem jest zatem ten punkt okręgu, którego rzut na prostą $ OC $ leży najbliżej punktu $ O $, tzn. punkt styczności tej z dwóch stycznych do okręgu, prostopadłych do dwusiecznej danego kąta, która leży bliżej punktu $ O $.

Rozwiązanie to można uzyskać bez rachunku trygonometrycznego. Poprowadźmy przez punkt $ M $ prostopadłą $ KL $ do dwusiecznej $ OC $ (rys. 20) i zauważmy, że według znanego twierdzenia o trójkącie równoramiennym suma odległości dowolnego punktu $ M $ podstawy $ KL $ trójkąta równoramiennego $ KOL $ od boków $ OK $ i $ OL $ równa się wysokości trójkąta względem boku $ OK $, tj. $ MN + MP = LH $. Gdy punkt $ M $ porusza się po okręgu, wysokość $ LH $ jest proporcjonalna do wysokości $ OM' $, gdyż obie są proporcjonalne do $ OL $. Zatem suma $ MN + MP $ osiąga minimum (maximum), gdy odcinek $ OM' $ jest najmniejszy (największy).

Uwaga 1. Zadanie możemy uogólnić biorąc w danym kącie zamiast okręgu dowolną figurę $ F $ i stawiając pytanie, dla którego punktu figury suma odległości od ramion kąta osiąga minimum lub maximum. Rozwiązanie uzyskujemy, wyznaczając rzut figury $ F $ na dwusieczną danego kąta: punktami szukanymi są te punkty figury $ F $, których rzuty leżą najbliżej lub najdalej od wierzchołka danego kąta.

Uwaga 2. Rozwiązanie zadania pozostaje bez zmiany, gdy dany kąt $ AOB $ jest prosty. W przypadku, gdy kąt $ AOB $ jest rozwarty, możemy w taki sam sposób znaleźć na danym okręgu punkt, dla którego suma odległości od prostych $ OA $ i $ OB $ jest najmniejsza lub największa. Sprawa przedstawia się inaczej, gdy chodzi o odległość punktu od ramion kąta, a więc od półprostych $ OA $ i $ OB $. Odległością punktu $ M $ od półprostej $ OA $ o początku $ O $ nazywa się długość najkrótszego z odcinków łączących punkt $ M $ z punktami tej pólprostej. Odległość ta równa się tylko wtedy odległości punktu $ M $ od prostej $ OA $, gdy odcinek $ OM $ tworzy z prostą $ OA $ kąt $ \leq 90^\circ $; gdy zaś ten kąt jest $ > 90^\circ $, odległość punktu $ M $ od półprostej $ OA $ równa się długości odcinka $ OM $. Aby rozwiązać zadanie w tym przypadku, poszukajmy miejsca geometrycznego punktów, dla których suma odległości od ramion $ OA $ i $ OB $ kąta rozwartego równa się danej długości $ a $. Poprowadźmy w kącie $ AOB $ taki odcinek $ KL $ prostopadły do dwusiecznej tego kąta, żeby wysokość $ LL' $ trójkąta równoramiennego $ KOL $ była równa $ a $ (rys. 22), i weźmy pod uwagę półproste $ OC \bot OA $ i $ OD \bot OB $ przecinające $ KL $ w punktach $ M $ i $ N $. Wówczas dla każdego punktu odcinka $ MN $ suma odległości od półprostych $ OA $ i $ OB $ równa się $ a $, dla pozostałych punktów odcinka $ KL $ suma ta jest większa niż $ a $. Niech $ P $ będzie takim punktem kąta $ AOD $, że suma $ PQ + PO $ jego odległości od półprostych $ OA $ i $ OB $ równa się $ a $ i niech $ x $, $ y $ oznaczają współrzędne punktu $ P $ w układzie współrzędnych $ AOC $, wówczas

\[<br />
\sqrt{x^2 + y^2} + y = a.<br />
\]

Stąd

\[<br />
y = \frac{a}{2} - \frac{x^2}{2a}<br />
\]

punkt $ P $ leży zatem na paraboli, której wierzchołkiem jest punkt $ \left(0, \frac{a}{2} \right) $, ogniskiem punkt $ O $ i która przecina $ OA $ w punkcie $ (a, 0) $.

Poszukiwanym miejscem geometrycznym jest zatem linia, składająca się z odcinka $ MN $ i z dwóch łuków parabol. Przekształcając tę linię przez jednokładność względem środka $ O $ w takim stosunku, aby otrzymać linię styczną do danego okręgu, znajdujemy żądany punkt.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź