XV OM - III - Zadanie 6

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ ABCD $ o prostopadłych przekątnych $ AC $ i $ BD $, a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

Rozwiązanie

Niech $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ będą rzutami prostokątnymi punktu $ O $ odpowiednio na ściany $ ASB $, $ BSC $, $ CSD $, $ DSA $ (rys. 23).

Płaszczyzna $ SOM $ jest prostopadła do płaszczyzny czworokąta $ ABCD $ i do płaszczyzny $ ASB $, gdyż zawiera prostopadłe $ S0 $ i $ OM $ do tych płaszczyzn. Zatem płaszczyzna $ S0M $ jest prostopadła do prostej przecięcia $ AB $ płaszczyzn $ ABCD $ i $ ASB $ i przecina ją w punkcie $ M' $ prostej $ SM $, przy czym $ AB \bot OM' $, tzn. $ M' $ jest rzutem prostokątnym punktu $ O $ na prostą AB. Podobnie proste $ SN $, $ SP $ i $ SQ $ przecinają odpowiednio proste $ BC $, $ CD $ i $ DA $ w punktach $ N' $, $ P' $, $ Q' $ będących rzutami prostokątnymi punktu $ O $ na te proste. Punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $ leżą na pewnym okręgu $ \alpha $. Punkty $ M $, $ N $, $ M' $, $ N' $ także leżą na okręgu. Istotnie, odcinek $ OB $ widać z każdego z tych punktów pod kątem prostym, więc leżą one na sferze (tj. na powierzchni kuli) o średnicy $ OB $; zarazem znajdują się one na płaszczyźnie $ SMN $, leżą zatem na linii przecięcia sfery z płaszczyzną, tj. na pewnym okręgu $ \beta $. Okręgi $ \alpha $ i $ \beta $ znajdują się w różnych płaszczyznach i ają dwa punkty wspólne $ M' $ i $ N' $; wobec tego istnieje sfera $ \gamma $ przechodząca przez oba te okręgi; punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $, $ M $, $ N $, leżą na sferze $ \gamma $. Tak samo punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $, $ N $, $ P $ leżą na pewnej sferze $ \gamma' $, a punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $, $ P $, $ Q $ - na pewnej sferze $ \gamma'' $. Lecz powierzchnie $ \gamma $, $ \gamma' $, $ \gamma'' $ są identyczne, gdyż $ \gamma $ i $ \gamma' $ przechodzą przez wierzchołki czworościanu $ M'N'P'N $, a $ \gamma' $ i $ \gamma'' $ przez wierzchołki czworościanu $ M'N'P'P $. Zatem punkty $ M'N'P'Q'MNPQ $ leżą na sferze $ \gamma $. Lecz z drugiej strony punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ leżą na sferze o średnicy $ OS $, gdyż z każdego z tych punktów odcinek $ OS $ widać pod kątem prostym; sfera ta jest różna od sfery $ \gamma $, gdyż nie przechodzi przez punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $, będąc styczną do płaszczyzny $ ABCD $ w punkcie $ O $. Punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ leżą zatem na linii przecięcia dwóch różnych sfer, tj. na okręgu.

Uwaga. Dowód powyższy można znacznie skrócić biorąc pod uwagę rzut stereograficzny sfery o średnicy $ OS $ z punktu $ S $ na płaszczyznę $ ABCD $. Wiadomo, że w takim rzucie okręgowi leżącemu na płaszczyźnie odpowiada okrąg na sferze. Okręgowi przechodzącemu przez punkty $ M' $, $ N' $, $ P' $, $ Q' $, odpowiada okrąg, który przechodzi przez odpowiednie punkty sfery, tj. przez punkty $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź