XIV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ a $, $ b $, $ m $ są takimi liczbami całkowitymi, że $ a^2 + 2mb^2 $ jest kwadratem liczby całkowitej, to $ a^2 + mb^2 $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Rozwiązanie

Niech $ mb^2 = n $; twierdzenie, które mamy udowodnić, otrzymuje postać prostszą: Dowieść, że jeżeli $ a^2 + 2n $, gdzie $ a $ i $ n $ oznaczają liczby całkowite, jest kwadratem liczby całkowitej, to $ a^2 + n $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Według założenia

\[<br />
(1) \qquad  a^2 + 2n = k^2, \textrm{ zatem } n = \frac{k^2-a^2}{2}       (k  \textrm{ - liczba całkowita }),<br />
\]

stąd

\[<br />
(2) \qquad  a^2 + n = a^2 + \frac{k^2 - a^2}{2} = \frac{k^2 + a^2}{2} =<br />
\left( \frac{k + a}{2} \right)^2 + \left( \frac{k - a}{2} \right)^2.<br />
\]

Z równości (1) wynika, że $ k^2 - a^2 $ jest liczbą parzystą, zatem liczby $ k $ i $ a $ są albo obie parzyste, albo obie nieparzyste. W takim razie $ \frac{k + a}{2} $ i $ \frac{k - a }{2} $ są liczbami całkowitymi i $ a^2 + n $ jest według (2) sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

Uwaga I. Twierdzenie powyższe jest przypadkiem szczególnym twierdzenia:

Jeżeli liczba parzysta $ 2m $ jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to jej połowa, tj. liczba $ m $ jest także sumą dwóch kwadratów liczb całkowitych. Istotnie, jeżeli $ 2m = k^2 + l^2 $, to $ k $ i $ l $ są tej samej parzystosci i mamy rozkład $ m = \frac{k^2+l^2}{2} = \left( \frac{k+l}{2} \right)^2 + \left( \frac{k-l}{2} \right)^2 $.

Biorąc $ m = a^2 + n $ i $ l = a $, otrzymujemy twierdzenie poprzednie.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne. Jeżeli mianowicie

\[<br />
m = u^2 + v^2<br />
\]

to

\[<br />
2m = 2u^2 + 2v^2 = (u + v)^2 + (u - v)^2.<br />
\]

Uwaga II. Ciekawe zagadnienie, które liczby naturalne są sumami dwóch kwadratów, należy do klasycznych zagadnień teorii liczb. Łatwo dowieść, że żadna liczba naturalna postaci $ 4k + 3 $ nie równa się sumie dwóch kwadratów liczb całkowitych. Istotnie, kwadrat liczby całkowitej daje z dzielenia przez $ 4 $ resztę $ 0 $ albo $ 1 $, więc reszta z dzielenia sumy dwóch kwadratów przez $ 4 $ równać się może tylko $ 0 $, $ 1 $ lub $ 2 $.

Zachodzi natomiast następujące twierdzenie: Każda liczba pierwsza postaci $ 4k + 1 $ równa się sumie dwóch kwadratów. Twierdzenie to odkrył wielki matematyk francuski Pierre Fermat około r. 1660; zostało ono jednak ogłoszone już po śmierci Fermata przez jego syna w r. 1670 i to bez dowodu. Pierwszy dowód podał w r. 1754 Leonard Euler, sławny matematyk szwajcarski Dowód tego twierdzenia można znaleźć w książce prof. W. Sierpińskiego - Teoria liczb.

A zatem liczba pierwsza różna od $ 2 $ jest wtedy i tylko wtedy sumą dwóch kwadratów, gdy ma postać $ 4k + 1 $.

Aby znaleźć liczby złożone będące sumami dwóch kwadratów zauważmy, że:

a) Liczba parzysta jest wtedy i tylko wtedy sumą dwóch kwadratów, gdy tę samą własność ma jej największy dzielnik nieparzysty (patrz uwaga I);

b) jeżeli każda z liczb $ m $ i $ n $ jest sumą dwóch kwadratów, to ich iloczyn $ mn $ jest także sumą dwóch kwadratów, gdyż jeżeli $ m = a^2 + b^2 $ i $ n = c^2 + d^2 $, to

\[<br />
mn = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2.<br />
\]

Ponieważ $ a^2 = a^2 + 0^2 $, więc jeżeli liczba $ m $ jest sumą dwóch kwadratów, to każda liczba postaci $ a^2 \cdot m $ jest też sumą dwóch kwadratów.

Z powyższego wynika, że jeżeli w rozkładzie liczby naturalnej na czynniki pierwsze te liczby pierwsze, które mają postać $ 4k + 3 $, występują tylko z wykładnikami parzystymi, to liczba ta jest sumą dwóch kwadratów.

Prawdziwe jest również twierdzenie odwrotne (Patrz W.Sierpiński - Teoria liczb). Ostatecznie zatem rozwiązanie omawianego zagadnienia jest następujące: Liczba naturalna jest wtedy i tylko wtedy sumą kwadratów dwóch liczba całkowitych, gdy w rozkładzie tej liczby na czynniki pierwsze żadna liczba pierwsza postaci $ 4k + 3 $ nie występuje w potędze o wykładniku nieparzystym.

Rozważymy jeszcze pytanie, czy istnieją różne przedstawienia tej samej liczby w postaci sumy dwóch kwadratów. Nie będziemy przy tym uważać za różne takich rozkładów $ a^2 + b^2 $, w których $ a $ i $ b $ różnią się tylko znakami, wobec czego przyjmiemy, że w rozważanych rozkładach składniki są nieujemne.

Nietrudno dowieść, że dla liczby pierwszej $ p $ postaci $ 4k + 1 $ istnieje tylko jeden rozkład na sumę dwóch kwadratów. Przypuśćmy, że

\[<br />
(3) \qquad  p = a^2 + b^2  \textrm{ i }        p = c^2 + d^2.<br />
\]

Wówczas

\[<br />
(4) \qquad  p^2 = (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 =<br />
(ad + bc)^2 + (ac - bd)^2.<br />
\]

Otóż

\[<br />
(ac + bd) (ad + bc) = a^2cd + b^2cd + c^2ab + d^2ab = (a^2 + b^2)cd + (c^2 + d^2)ab = p(ab + cd),<br />
\]

iloczyn $ (ac + bd) (ad + bc) $ jest zatem podzielny przez liczbę pierwszą $ p $, wobec czego któryś z jego czynników jest podzielny przez $ p $.

Wystarczy rozpatrzyć przypadek, gdy

\[<br />
ac + bd = k' \cdot p,<br />
\]

gdzie $ k $ jest całkowite i dodatnie.

Z równości (4) wynika wówczas, że

\[<br />
ad - bc = l \cdot p<br />
\]

gdzie $ l $ jest liczbą całkowitą. Zatem na mocy równości (4)

\[<br />
p^2 = k^2p^2 + l^2p^2,<br />
\]

a stąd

\[<br />
k^2 + l^2 = 1 .<br />
\]

Ponieważ $ k > 0 $, więc z ostatniego równania otrzymujemy $ k = 1 $, $ l = 0 $, wobec czego

\[<br />
ac + bd = p,<br />
\]
\[<br />
ad - bc = 0.<br />
\]

Rozwiązując te równania względem $ c $ i $ d $, otrzymujemy

\[<br />
c = \frac{ap}{a^2+b^2} = a, \<br />
d = \frac{bp}{a^2+b^2} = b,<br />
\]

Obie równości (3) przedstawiają więc ten sam rozkład liczby $ p $.

Dla liczb złożonych liczba rozkładów na sumę dwóch kwadratów może być dowolnie wielka. Można na przykład dowieść, że iloczyn $ n $ różnych liczb pierwszych postaci $ 4k + 1 $ posiada $ 2^{n-1} $ rozkładów:

\[<br />
65 = 5 \cdot 13 = 1^2 + 8^2 = 4^2 + 7^2<br />
\]
\[<br />
1105 = 5 \cdot 13 \cdot 17 = 4^2 + 33^2 = 9^2 + 32^2 = 12^2 + 31^2 = 23^2 + 24^2 itd..<br />
\]

Liczbę rozkładów dowolnej liczby na sumę dwóch kwadratów można obliczyć na podstawie jej rozwinięcia na czynniki pierwsze.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź