XIV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że iloczyn dwumianów

\[<br />
P(x) = (x^m - 1) (x^{m+1}-1) (x^{m+2}-1) (x^{m+3} - 1)(x^{m+1}- 1) ,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną, jest podzielny przez iloczyn dwumianów

\[<br />
Q(x) = (x-1) (x^2 - 1) (x^3 - 1) (x^4 - 1) (x^5 - 1).<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br />
x^2 - 1 = (x - 1) (x + 1),\<br />
x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1),<br />
\]
\[<br />
x^4 - 1 = (x - 1) (x + 1) (x^2 + 1),\<br />
x^5 - 1 = (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)<br />
\]

więc

\[<br />
(1) \qquad  Q(x) = (x- 1)^5(x + 1)^2 (x^2 + 1) (x^2 + x + 1) (x^4 + x^3 +<br />
 x^2 + x + 1).<br />
\]

W rozkładzie (1) wielomianu $ Q(x) $ czynniki

\[<br />
(2) \qquad  (x - 1)^5,\ (x + 1)^2,\ x^2 + 1,\ x^2 + x + 1,\ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1<br />
\]

są parami względnie pierwsze. Istotnie, wielomian $ (x - 1)^5 $ jest pierwszy względem każdego z pozostałych wielomianów (2), jest on bowiem potęgą nierozkładalnego wielomianu $ x - 1 $, który nie jest dzielnikiem żadnego z owych wielomianów, gdyż żaden z nich nie ma pierwiastka równego $ 1 $. To samo stosuje się do wielomianu $ (x + 1)^2 $. Aby wykazać, że trzy pozostałe wielomiany ciągu (2) są parami względnie pierwsze, wystarczy zauważyć, że

\[<br />
(3) \qquad  (x^2 + x + 1) - (x^2 + 1) = x,<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - (x^2 + x) (x^2 + 1) = 1,<br />
\]
\[<br />
(5) \qquad  (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) - x^2(x^2 +x + 1) = x + 1.<br />
\]

Z równości (3) wynika, że każdy wspólny dzielnik wielomianów $ x^2 + x + 1 $ i $ x^2+ 1 $ nie będący stałą, musiałby być dzielnikiem wielomianu nierozkładalnego $ x $, miałby więc postać $ kx $, gdzie $ k $ jest liczbą różną od zera; tymczasem ani $ x^2 + x + 1 $ ani $ x^2 + 1 $ nie jest podzielne przez $ kx $ dla żadnego $ k $. Z równości (4) i (5) wynika podobnie, że wielomian $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $ jest pierwszy względem każdego z wielomianów $ x^2+1 $,i $ x^2+x+1 $.

Aby zatem udowodnić, że wielomian $ P(x) $ jest podzielny przez wielomian $ Q(x) $, wystarczy dowieść, że jest on podzielny przez każdy z wielomianów (2). Stwierdzamy to, jak następuje.

Wielomian $ P(x) $ jest iloczynem pięciu czynników

\[<br />
(6) \qquad  x^m-1,\ x^{m + 1}-1,\ x^{m + 2}-1,\ x^{m + 3}-1,\ x^{m + 4}-1.<br />
\]

Każdy z wielomianów (6) jest podzielny przez $ x - 1 $, więc $ P(x) $ jest podzielne przez $ (x - 1)^5 $. W ciągu pięciu kolejnych, liczb naturalnych

\[<br />
(7) \qquad  m,\   m + 1,\ m + 2,\   m + 3,\   m + 4<br />
\]

co najmniej dwie są parzyste, co najmniej jedna jest podzielna przez $ 3 $, co najmniej jedna jest podzielna przez $ 4 $, a jedna jest podzielna przez $ 5 $. Wobec tego w ciągu wielomianów (6):

a) co najmniej dwa mają postać $ x^{2k} - 1 = (x^2)^k - 1 $, więc są podzielne przez $ x^2 - 1 $, a tym samym przez $ x + 1 $, skąd wynika, że $ P(x) $ jest podzielne przez $ (x + 1)^2 $;

b) co najmniej jeden ma postać $ x^{3k} - 1 = (x^3)^k - 1 $, więc jest podzielny przez $ x^3 - 1 = (x - 1) (x^2 + x + 1) $, zatem $ P(x) $ jest podzielne przez $ x^2 + x + 1 $;

c) co najmniej jeden ma postać $ (x^{4k} - 1) = (x^4)^k - 1 $, więc jest podzielny przez $ x^4 - 1 = (x^2 - 1) (x^2 + 1) $, wobec czego $ P(x) $ jest podzielne przez $ x^2 + 1 $;

d) jeden z nich ma postać $ x^{5k} - 1 == (x^5)^k - 1 $, jest więc podzielny przez $ x^5 - 1 = (x - 1) (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) $, skąd wynika podzielność wielomianu $ P(x) $ przez $ x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 $.

Uwaga. Zachodzi twierdzenie ogólne: Dla dowolnych liczb naturalnych $ m $ i $ r $ iloczyn dwumianów

\[<br />
(8) \qquad  P(x) = (x^m- 1) (x^{m + 1} - 1) \ldots (x^{m + r-1} - 1)<br />
\]

jest podzielny przez iloczyn dwumianów

\[<br />
(9) \qquad  Q(x) = (x- 1)(x^2- 1) \ldots (x^r- 1).<br />
\]

Podamy dowód tego twierdzenia, przy czym będziemy się posługiwali wielomianami o współczynnikach zespolonych. Myśl dowodu będzie ta sama, co poprzednio: przedstawimy $ Q(x) $ w postaci iloczynu takich czynników, które są parami względnie pierwsze a następnie wykażemy, że wielomian $ P(x) $ jest podzielny przez każdy z tych czynników.

W zbiorze liczb zespolonych dwumian $ x^k - 1 $ ($ k $ - liczba naturalna) ma $ k $ różnych pierwiastków. Są nimi liczby

\[<br />
x_{h,k} = \cos \frac{2\pi h}{k} + \sin \frac{2\pi h}{k} ,\   (h = 1,2, \ldots, k)<br />
\]

zwane pierwiastkami stopnia $ k $ z jedności. Zatem

\[<br />
(10) \qquad  x^k - 1 = (x - x_{1,k}) (x - x_{2,k}) \ldots (x - x_{k,k}).<br />
\]

Stosując wzór (10) do każdego z $ r $ dwumianów iloczynu (9) rozłożymy $ Q(x) $ na $ 1+2+\ldots + r = \frac{1}{2}r(r + 1) $ czynników postaci $ x - x_{h,k} $, w których $ h $ i $ k $ przybierają wartości $ 1,2, \ldots, r $, przy czym $ h \leq k $. Niektóre z tych czynników są jednakowe; łatwo zauważyć, że $ x_{h_1k_1} = x_{h_2k_2} $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ h_1 \colon k_1 = h_2 \colon k_2 $. Na przykład $ x_{1,1} = x_{2,2} = \ldots = x_{r,r} = \cos 2\pi +i \sin 2\pi = 1 $, $ x_{1,2} = x_{2,4} = \ldots = \cos\pi + i \sin \pi = -1 $ itd. Łącząc równe czynniki, możemy przedstawić $ Q(x) $ w postaci

\[<br />
(11) \qquad  Q(x) = (x - x_1)^{\alpha_1} (x - x_2)^{\alpha_2} \ldots (x - x_s)^{\alpha_s},<br />
\]

gdzie $ x_1, x_2, \ldots x_s $ oznaczają pierwiastki różne wielomianu $ Q(x) $, a liczby naturalne $ \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s $ - wielokrotności tych pierwiastków.

Każde dwa czynniki iloczynu (11), np. $ (x - x_\mu)^{\alpha_\mu} $ i $ (x - x_\nu)^{\alpha_\nu} $, gdzie $ \mu \ne \nu $, są względnie pierwsze, gdyż dwumiany $ x - x_\mu $ i $ x - x_\nu $ są względnie pierwsze.

Podobnie

\[<br />
(12) \qquad  P(x) = (x- \xi_1)^{\beta_1}(x- \xi_2)^{\beta_2} \ldots<br />
(x- \xi_t)^{\beta_t},<br />
\]

gdzie $ \xi_1, \xi_2, \ldots, \xi_t $ oznaczają pierwiastki różne wielomianu $ P(x) $, a $ \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_t $ - wielokrotności tych pierwiastków.

Twierdzenie będzie udowodnione, jeśli wykażemy, że gdy $ \nu $ jest jedną z liczb $ 1,2,  \ldots, s $, to $ (x - x_\nu)^{\alpha_\nu} $ jest dzielnikiem któregoś czynnika $ (x - \xi_\rho)^{\beta_\rho} $ iloczynu (12), tzn. że dla pewnego $ \rho $ jest $ x_\nu = \xi_\rho $, a $ \alpha_\nu \leq \beta_\rho $.

Zauważmy najpierw, że gdy $ x_\nu $ jest pierwiastkiem z jedności, tzn. $ x_\nu^k = 1 $ dla pewnych naturalnych liczb $ k $, wtedy wśród takich liczb $ k $ istnieje najmniejsza; oznaczymy ją przez $ k_\nu $. Jeśli $ x_\nu^k = 1 $, dla pewnego $ k $, a $ k = pk_\nu + q $, gdzie $ 0 \leq g < k_\nu $, to

\[<br />
x_\nu^{pk_\nu + q} = (x_\nu^{k_\nu} ) \cdot x_\nu^q = 1,<br />
\textrm{ zatem } x_\nu^q = 1<br />
\]

a że $ q < k_\nu $, więc $ q = 0 $, wobec czego

\[<br />
k = pk_\nu.<br />
\]

Dwumian $ x^k - 1 $ jest więc podzielny przez $ x - x_\nu $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ k $ jest wielokrotnością $ k_\nu $.

Stąd wynika, że w iloczynie (9) jest tyle czynników podzielnych przez $ x - x_\nu $ ile jest liczb podzielnych przez $ k_\nu $ w ciągu

\[<br />
1, 2, \ldots, r,<br />
\]

inaczej mówiąc, ile wynosi największa liczba całkowita w ciągu

\[<br />
\frac{1}{k_\nu}, \frac{2}{k_\nu}, \ldots, \frac{r}{k_\nu}.<br />
\]

Ponieważ dla każdego z owych czynników $ x_\nu $ jest pierwiastkiem pojedynczym, więc ich liczba równa się wielokrotności pierwiastka $ x_\nu $ wielomianu $ Q(x) $, tzn. wykładnikowi $ \alpha_\nu $ w rozkładzie (11).

A zatem

\[<br />
\alpha_\nu = \left[ \frac{r}{k_\nu} \right],<br />
\]

gdzie $ \left[ \frac{r}{k_\nu} \right] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie mniejszą od $ \frac{r}{k_\nu} $.

Gdy $ x_\nu $ jest pierwiastkiem wielomianu $ Q(x) $, to z uwagi na (9) zachodzi nierówność $ k_\nu \leq r $, zatem co najmniej jedna z $ r $ liczb $ m, m + 1, \ldots, m + r - 1 $ jest podzielna przez $ k_\nu $, skąd wynika, że $ x_\nu $ jest również pierwiastkiem wielomianu $ P(x) $; niech np. $ x_\nu = \xi_\rho $.

Wykładnik $ \beta_\rho $ czynnika $ (x - \xi_\rho)^{\beta_\rho} $ rozkładu (12) obliczymy podobnie, jak poprzednio $ \alpha_\nu $. Mianowicie $ \beta_\rho $ równa się liczbie tych wyrazów ciągu

\[<br />
m, m + 1, \ldots, m + r - 1,<br />
\]

które są podzielne przez $ k_\nu $.

Otóż w ciągu

\[<br />
1, 2, \ldots, m - 1, m, m + 1, \ldots, m + r - 1<br />
\]

liczb podzielnych przez $ k_\nu $ jest $ \left[\frac{m + r-1}{k_\nu} \right] $; a w ciągu

\[<br />
1, 2, \ldots, m - 1<br />
\]

jest ich $ \left[\frac{m -1}{k_\nu} \right] $. Zatem

\[<br />
\beta_\rho = \left[\frac{m + r-1}{k_\nu} \right] -<br />
\left[\frac{m - 1}{k_\nu} \right].<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
\left[\frac{m + r - 1}{k_\nu} \right] \geq<br />
\left[\frac{m - 1}{k_\nu} \right] +<br />
\left[\frac{r}{k_\nu} \right].<br />
\]

więc

\[<br />
\beta_\nu \geq \alpha_\nu.<br />
\]

Dowód został przeprowadzony.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź