XIV OM - I - Zadanie 4

W koło wielkie kuli o promieniu $ r $ wpisano wielokąt foremny o $ n $ bokach. Dowieść, że suma kwadratów odległości dowolnego punktu $ P $ powierzchni kuli od wierzchołków wielokąta równa się $ 2nr^2 $.

Rozwiązanie

Niech symbol $ \overline{AB} $ oznacza wektor o początku $ A $ i końcu $ B $, a $ AB $ - długość tego wektora. Wówczas

\[<br />
\overline{PA_k} = \overline{PO} + \overline{OA_k},<br />
\]

stąd

\[<br />
(\overline{PA_k})^2 = (\overline{PO})^2 + (\overline{OA_k})^2 +<br />
2 \overline{PO} \cdot \overline{OA_k},<br />
\]

więc

\[<br />
PA_k^2 = PO^2 + OA_k^2+ 2\overline{PO} \cdot \overline{OA_k} =<br />
2r^2 + 2\overline{PO} \cdot \overline{OA_k}.<br />
\]

Zatem

\[<br />
(3) \qquad  PA_1^2 + PA_2^2 + \ldots + PA_n^2= 2nr^2 +<br />
2\overline{PO} (\overline{OA_1} + \overline{OA_2} + \ldots + \overline{OA_n}).<br />
\]

Otóż suma wektorów $ \overline{OA_1} + \overline{OA_2} + \ldots + \overline{OA_n} $ równa się zeru. Jeżeli bowiem obrócimy całą figurę dokoła punktu $ O $ o kąt $ \frac{2\pi}{n} $, to każdy z wektorów $ OA_k $ przejdzie w następny, wobec czego ich suma pozostanie ta sama; jest ona więc takim wektorem, który przy obrocie o pewien kąt różny od $ 2k\pi $ nie zmienia się, tj. wektorem zerowym.

Z równości (3) wynika równość (2), którą mieliśmy udowodnić.

Na przykładzie powyższego dowodu widzimy, jak wielkie korzyści może dać posługiwanie się wektorami w rozumowaniach geometrycznych. Jest to metoda szeroko dzisiaj stosowana.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź