XIV OM - I - Zadanie 5

Ile cyfr ma liczba

\[<br />
2^{2^{16}} + 1<br />
\]

napisana w układzie dziesiętnym?

Rozwiązanie

Zadanie to łatwo rozwiązać przy użyciu $ 5 $-cyfrowych tablic logarytmów dziesiętnych. Według tablic $ \log 2 $ równa się w przybliżeniu $ 0,30103 $, przy czym błąd tego przybliżenia jest mniejszy od $ 0,00001 $, wobec czego

\[<br />
0,30102 < \log 2 < 0,30104,<br />
\]

zatem

\[<br />
2^{16} \cdot 0,30102 < \log 2^{2^{16}} < 2^{16} \cdot 0,30104;<br />
\]

po wykonaniu mnożenia przez $ 2^{16} = 65536 $ otrzymujemy nierówność

\[<br />
19727 < \log 2^{2^{16}} < 19729.<br />
\]

Stąd wynika, że liczba $ 2^{2^{16}} $ ma $ 19728 $ lub $ 19729 $ cyfr, co nie daje jeszcze odpowiedzi na postawione pytanie. Aby ją uzyskać, trzeba $ \log 2 $ ocenić dokładniej. W tym celu skorzystamy z podanej w tablicach wartości przybliżonej logarytmu liczby $ 2^{10} = 1024 $. Według tablic $ \log 1024 \approx 3,01030 $ z błędem mniejszym od $ 0,00001 $, zatem

\[<br />
10 \log 2 > 3,01029<br />
\]

skąd

\[<br />
\log 2 > 0,301029<br />
\]

więc

\[<br />
\log 2^{2^{16}} > 0,301029 \cdot 65536 > 19728.<br />
\]

A zatem liczba $ 2^{2^{16}} $ ma $ 19729 $ cyfr. Ponieważ liczba $ 2^{2^{16}} $ jest parzysta, więc ostatnią jej cyfrą nie jest $ 9 $, wobec czego liczba $ 2^{2^{16}} + 1 $ ma także $ 19729 $ cyfr.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź