XIV OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli dwa nieidentyczne wielomiany stopnia trzeciego

\[<br />
(1) \qquad  P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \textrm{ i } Q(x) = x^3 + a_1x^2 + b_1x+c_1<br />
\]

mają wspólny czynnik stopnia drugiego, to

\[<br />
(2) \qquad  a \ne a_1<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1) = 0<br />
\]
\[<br />
(4) \qquad  (bc_1 - b_1c) (a - a_1) + (c - c_1)^2 = 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że wielomiany (1) nie są identyczne i że mają wspólny czynnik stopnia drugiego. Są one wówczas podzielne przez ten sam trójmian postaci $ x^2 + px + q $, wobec czego istnieją takie liczby $ \alpha $ i $ \alpha_1 $, że dla każdego $ x $

\[<br />
(5) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x^3 + ax^2 + bx + c = (x - \alpha) (x^2 + px + q)\\<br />
x^3 + a_1x^2 + b_1x + c_1 = (x - \alpha_1) (x^2 + px + q).<br />
\end{array}<br />
\]

Liczby $ \alpha $ i $ \alpha_1 $ nie są równe, gdyż z równości $ \alpha = \alpha_1 $ wynikałaby na mocy (5) tożsamość danych wielomianów. Mnożąc pierwszą równość (5) przez $ x - \alpha_1 $, drugą przez $ x - \alpha $, widzimy, że dla każdego $ x $

\[<br />
(6) \qquad   (x - \alpha_1) (x^3 + ax^2 + bx + c) =<br />
(x - \alpha) (x^3 + a_1x^2 + b_1x + c_1).<br />
\]

Z tożsamości (6) wynika równość współczynników przy jednakowych potęgach $ x $ po obu stronach, co daje równości

\[<br />
(7) \qquad  \alpha - \alpha_1 = a_1 - a<br />
\]
\[<br />
(8) \qquad  a_1 \alpha - a \alpha_1 = b_1 - b<br />
\]
\[<br />
(9) \qquad  b_1\alpha - b\alpha_1 = c_1 - c<br />
\]
\[<br />
(10) \qquad  c_1\alpha - c\alpha_1 = 0<br />
\]

Z równości (7) i z nierówności $ \alpha \ne \alpha_1 $ wynika $ a_1 \ne a $, tzn. warunek (2).

Z (7) i (10) wynikają równości

\[<br />
(11) \qquad  (c - c_1)\alpha = c(a_1 - a),\ (c - c_1)\alpha_1 = c_1(a_1 - a)<br />
\]

a z (8) i (9) równości

\[<br />
(12) \qquad  a_1\alpha (c - c_1) - a\alpha_1 (c - c_1) =<br />
(b_1 - b) (c - c_1).<br />
\]
\[<br />
(13) \qquad  b_1\alpha (c - c_1) - b\alpha_1 (c - c_1) = - (c - c_1)^2.<br />
\]

Z (11) i (12) wynika przez podstawienie

\[<br />
a_1c (a_1 - a) - ac_1 (a_1 - a) = (b_1 - b) (c - c_1)<br />
\]

lub po przekształceniu

\[<br />
(ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1)(c - c_1) = 0,<br />
\]

czyli warunek (3).

Z (11) i (13) otrzymujemy analogicznie

\[<br />
b_1c (a_1 - a) - bc_1 (a_1 - a) = - (c - c_1)^2<br />
\]

a po przekształceniu

\[<br />
(bc_1 - b_1c) (a - a_1) + (c - c_1)^2 = 0,<br />
\]

czyli warunek (4). Twierdzenie wypowiedziane w zadaniu zostało więc udowodnione.

Uwaga. Związki (2), (3) i (4) stanowią, jak wykazaliśmy, warunek konieczny do tego, aby wielomiany (1) miały wspólny czynnik stopnia drugiego, ale nie były identyczne. Nie jest to jednak warunek dostateczny. Na przykład wielomiany $ P(x) = x^3 + 3x^2 + 2x $ i $ Q(x) = x^3 + 7x^2 + 12x $ spełniają związki (2), (3), (4) a nie mają wspólnego czynnika kwadratowego, gdyż $ P(x) = x(x + 1) (x + 2) $, a $ Q(x) = x(x + 3) (x + 4) $.

Poszukajmy takiego warunku, który byłby zarazem konieczny i dostateczny. Wykażemy najpierw, że takim warunkiem jest istnienie liczb $ \alpha $ i $ \alpha_1 $ spełniających równania (7), (8), (9), (10) oraz nierówność

\[<br />
(14) \qquad  \alpha \ne \alpha_1.<br />
\]

Wiemy z poprzedniego, że jest to warunek konieczny; udowodnimy, że jest on zarazem dostateczny. Istotnie, jeżeli zachodzą równości (7) - (10), to równość (6) czyli równość

\[<br />
(6a) \qquad (x - \alpha_1) \cdot P(x) = (x - \alpha)Q(x)<br />
\]

jest prawdziwa dla każdego $ x $. Liczba $ \alpha_1 $ będąca pierwiastkiem lewej strony tej równości, jest zatem również pierwiastkiem prawej strony, a ponieważ $ \alpha_1 - \alpha \ne 0 $, więc $ \alpha_1 $ jest pierwiastkiem wielomianu $ Q(x) $, skąd wynika istnienie takiego trójmianu kwadratowego $ x^2 + px + q $, że

\[<br />
Q(x) = (x - \alpha_1) (x^2 + px + q)<br />
\]

wobec czego na mocy (6a) zachodzi dla każdego $ x $ równość

\[<br />
(x - \alpha_1)P(x) = (x - \alpha) (x - \alpha_1) (x^2 + px + q).<br />
\]

Stąd dla $ x \ne \alpha_1 $

\[<br />
P(x) = (x - \alpha) (x^2 + px + q).<br />
\]

Równość ta jest prawdziwa także dla $ x = \alpha_1 $, gdyż dwa wielomiany $ n $-go stopnia zmniennej $ x $ równe dla więcej niż $ n $ wartości $ x $ są równe tożsamościowo. Zatem $ P(x) $ i $ Q(x) $ mają wspólny czynnik $ x^2 + px + q $.

Układ związków (7), (8), (9), (10) i (14) możemy zastąpić układem nie zawierającym parametrów $ \alpha $ i $ \alpha_1 $. Spostrzegamy najpierw, że gdy zachodzi (7), to z nierówności $ \alpha \ne \alpha_1 $ wynika nierówność $ a \ne a_1 $ i na odwrót, wobec czego wymieniony układ związków możemy zastąpić układem (7), (8), (9), (10) i (2). Gdy zachodzi (2), to z równości (7) i (8) otrzymujemy

\[<br />
(15) \qquad  \alpha = \frac{(b_1 - b) - a(a_1 - a)}{a_1-a} \textrm{ i }<br />
(16) \qquad  \alpha_1 = \frac{(b_1-b)-a_1(a_1-a)}{a_1 - a}.<br />
\]

Odwrotnie, z równości (15) i (16) wynikają równości (7) i (8). Wobec tego układ (7), (8), (9), (10), (2) możemy zastąpić układem (15), (16), (9), (10), (2). Podstawiając wartości (15) i (16) do (9), otrzymujemy równość:

\[<br />
(17) \qquad  b_1 \frac{(b_1 - b) - a(a_1 - a)}{a_1-a} - b \frac{(b_1 - b) - a_1(a_1 - a)}{a_1-a} = c_1-c<br />
\]

a po przekształceniu równość

\[<br />
(18) \qquad  (ab_1 - a_1b) (a - a_1) - (a - a_1) (c - c_1) + (b - b_1)^2 = 0.<br />
\]

Podstawiając zaś wartości (15) i (16) do (10) otrzymujemy równość

\[<br />
(19) \qquad  c_1 \frac{(b_1-b) - a(a_1 - a)}{a_1-a} - c \frac{(b_1 - b) - a_1(a_1 - a)}{a_1-a} ==<br />
\]

a po uproszczeniu równość

\[<br />
(3) \qquad  (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1) = 0.<br />
\]

Odwrotnie, z równości (18) i (3) przy założeniu (2) wynikają równości (17) i (19), z których na mocy (15) i (16) otrzymujemy (9) i (10). Zatem układ (15), (16), (9), (10), (2) możemy zastąpić układem (15), (16) , (18), (3), (2).

Z tego wynika, że układ związków

\[<br />
(2) \qquad  a \ne a_1<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1)<br />
\]
\[<br />
(18) \qquad   (ab_1 - a_1b) (a - a_1) - (a - a_1) (c - c_1) + (b - b_1)^2 = 0<br />
\]

stanowi warunek konieczny i dostateczny tego, aby wielomiany (1) miały wspólny czynnik stopnia drugiego, ale nie były identyczne. Równości (15) i (16) możemy bowiem pominąć, gdyż przedstawiają one tylko określenie pomocniczych parametrów $ \alpha $ i $ \alpha_1 $ i nie wprowadzają żadnych nowych ograniczeń dla współczynników danych wielomianów.

Do tego samego wyniku możemy dojść na innej drodze. Przypuśćmy, że dwa nieidentyczne wielomiany $ P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c $ i $ Q(x) = x^3 + a_1x^2 + b_1x + c_1 $ są podzielne przez tę samą funkcję kwadratową $ F(x) $. Wówczas różnica

\[<br />
P(x) - Q(x) = (a - a_1)x^2 + (b - b_1)x + (c - c_1)<br />
\]

też jest podzielna przez $ F(x) $. W takim razie musi zachodzić nierówność (2), tj. $ a \ne a_1 $; gdy bowiem $ a = a_1 $, to $ P(x) - Q(x) = (b - b_1)x + (c - c_1) $, więc ta funkcja może być podzielna przez funkcję kwadratową $ F(x) $ tylko wtedy, gdy $ b = b_1 $ i $ c = c_1 $, tj. gdy $ P(x) $ i $ Q(x) $ są identyczne. Zatem

\[<br />
(20) \qquad  P(x) - Q(x) = (a - a_1)R(x),<br />
\]

gdzie

\[<br />
\nr{20a} R(x) = x^2 + \frac{b-b_1}{a-a_1}x + \frac{c-c_1}{a-a_1}.<br />
\]

Funkcja kwadratowa $ R(x) $ jest podzielna przez funkcję kwadratową $ F(x) $, więc również $ F(x) $ jest podzielna przez $ R(x) $, tzn. $ R(x) $ jest wspólnym dzielnikiem kwadratowym wielomianów $ P(x) $ i $ Q(x) $. W takim razie $ R(x) $ jest również dzielnikiem funkcji kwadratowej

\[<br />
P(x) - x R(x) = \left( a - \frac{b-b_1}{a-a_1} \right) x^2 + \left(b - \frac{c-c_1}{a-a_1} \right) x + c.<br />
\]

Iloraz funkcji $ P(x) - x R(x) $ i $ R(x) $ równa się ilorazowi współczynników przy $ x^2 $, tzn.

\[<br />
(21) \qquad  P(x) - x R(x) = k R(x),<br />
\]

gdzie

\[<br />
(22) \qquad  k = a - \frac{b-b_1}{a-a_1}.<br />
\]

Wobec tego zachodzi tożsamość

\[<br />
(23) \qquad  \begin{split}<br />
&\left( a - \frac{b-b_1}{a-a_1} \right) x^2 + \left(b - \frac{c-c_1}{a-a_1} \right) x + c = \\<br />
&\qquad=\left( a - \frac{b-b_1}{a-a_1} \right)\left(x^2 + \frac{b-b_1}{a-a_1} x + \frac{c-c_1}{a-a_1} \right)<br />
\end{split}<br />
\]

skąd wynikają równości

\[<br />
b - \frac{c-c_1}{a-a_1} =<br />
\left( a - \frac{b-b_1}{a-a_1} \right) \cdot \frac{b-b_1}{a-a_1}<br />
\]
\[<br />
c = \left( a - \frac{b-b_1}{a-a_1} \right) \cdot \frac{c-c_1}{a-a_1},<br />
\]

które po przekształceniu otrzymują postać

\[<br />
(18) \qquad  (ab_1 - a_1b) (a - a_1) - (a - a_1) (c - c_1) + (b - b_1)^2 = 0<br />
\]
\[<br />
(3) \qquad  (ac_1 - a_1c) (a - a_1) + (b - b_1) (c - c_1) = 0.<br />
\]

Odwrotnie, jeżeli zachodzą równości (18) i (3) oraz nierówność (2), to wykonując poprzednie przekształcenia w odwrotnym kierunku stwierdzamy, że zachodzi tożsamość (23), która po określeniu $ k $ wzorem (22) i $ R(x) $ wzorem (20a) przybiera postać (21), skąd

\[<br />
P(x) = (x + k) R(x).<br />
\]

Lecz według wzoru (20)

\[<br />
Q(x) = P(x) - (a - a_1) R(x),<br />
\]

czyli

\[<br />
Q(x) = (x + k - a + a_1) R(x).<br />
\]

Wielomiany $ P(x) $ i $ Q(x) $ mają zatem istotnie wspólny czynnik kwadratowy $ R(x) $, a wobec (2) nie są identyczne.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź