XIV OM - I - Zadanie 11

Wewnątrz czworościanu $ ABCD $ obrano punkt $ S $. Proste $ AS $, $ BS $, $ CS $, $ DS $ przecinają przeciwległe ściany czworościanu w punktach $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $. Dowieść, że

\[<br />
\frac{SA'}{AA'} + \frac{SB'}{BB'} + \frac{SC'}{CC'} + \frac{SD'}{DD'} = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Poprowadźmy wysokości $ SK $ i $ DH $ czworościanów $ SABC $ i $ DABC $ o wspólnej podstawie $ ABC $ (rys. 15). Stosunek $ \frac{SK}{DH} $ równa się stosunkowi objętości tych czworościanów. Trójkąty prostokątne $ DHD' $ i $ SKD' $ są podobne, więc $ \frac{SD'}{DD'} = \frac{SK}{DH} $.

Wobec tego

\[<br />
\frac{SD'}{DD'} = \frac{\textrm{obj. } SABC}{\textrm{obj. } ABCD}.<br />
\]

Analogicznie

\[<br />
\frac{SA'}{AA'} = \frac{\textrm{obj. } SBCD}{\textrm{obj. } ABCD},\<br />
\frac{SB'}{BB'} = \frac{\textrm{obj. } SACD}{\textrm{obj. } ABCD},\<br />
\frac{SC'}{CC'} = \frac{\textrm{obj. } SABD}{\textrm{obj. } ABCD}.<br />
\]

Dodając powyższe $ 4 $ równości i biorąc pod uwagę, że

\[<br />
\textrm{obj. }SABC + \textrm{obj. }SBCD + \textrm{obj. }SACD + \textrm{obj. }SABD = \textrm{obj. }ABCD<br />
\]

otrzymujemy

\[<br />
\frac{SA'}{AA'} + \frac{SB'}{BB'} + \frac{SC'}{CC'} + \frac{SD'}{DD'} = 1, \textrm{c.n.d.}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź