XIV OM - I - Zadanie 12

W okrąg o środku $ O $ i promieniu $ r $ wpisano pięciokąt foremny $ A_1A_2A_3A_4A_5 $ i na mniejszym z łuków o końcach $ A_1 $, $ A_5 $ obrano punkt $ M $. Dowieść, że

\[<br />
(1) \qquad  MA_1 + MA_3 + MA_5 = MA_2 + MA_4.<br />
\]

Rozwiązanie

Równość (1), którą mamy udowodnić, jest związkiem między długościami pewnych cięciw okręgu. Otóż związkiem tego samego rodzaju jest znane twierdzenie Ptolemeusza: Iloczyn przekątnych czworokąta wpisanego w kolo równa się sumie iloczynów boków przeciwległych tego czworokąta1). Narzuca się myśl, aby skorzystać z tego twierdzenia dla dowodu równości (1). W rozważanej figurze istnieje $ 10 $ takich czworokątów wpisanych w dany okrąg, których jednym wierzchołkiem jest $ M $, a trzy inne są wierzchołkami pięciokąta $ A_1A_2A_3A_4A_5 $. Z uwagi na kształt równości (1), wybierzemy te z owych dziesięciu czworokątów, w których odcinki $ MA_1 $, $ MA_3 $, $ MA_5 $ występują tylko jako boki, a odcinki $ MA_2 $ i $ MA_4 $ tylko jako przekątne, lub na odwrót. Są to czworokąty

\[<br />
MA_1A_2A_3,\ MA_1A_2A_5,\ MA_1A_4A_5,\ MA_2A_3A_4,\ MA_3A_4A_5.<br />
\]

Niech $ a $ oznacza długość boku danego pięciokąta oraz $ b $ - długość jego przekątnej. Stosując twierdzenie Ptolemeusza do wymienionych $ 5 $ czworokątów, otrzymujemy następujące równości, które łatwo napisać nie patrząc wcale na rysunek:

\[<br />
\begin{split}<br />
\textrm{w czworokącie } MA_1A_2A_3 \colon a \cdot MA_1 + a \cdot MA_3 & = b \cdot MA_2 \\<br />
\textrm{w czworokącie } MA_1A_2A_5 \colon b \cdot MA_1 + a \cdot MA_5 & = a \cdot MA_2 \\<br />
\textrm{w czworokącie } MA_1A_4A_5 \colon a \cdot MA_1 + b \cdot MA_5 & = a \cdot MA_4 \\<br />
\textrm{w czworokącie } MA_2A_3A_4 \colon b \cdot MA_3 & = a \cdot MA_2 + a \cdot MA_4 \\<br />
\textrm{w czworokącie } MA_3A_4A_5 \colon a \cdot MA_3 + a \cdot MA_5 & = b \cdot MA_4<br />
\end{split}<br />
\]

Dodajemy te równości:

\[<br />
(2a + b) MA_1 + (2a + b) MA_3 + (2a + b) MA_5 = (2a + b) MA_2 + (2a + b) MA_4<br />
\]

i po podzieleniu przez $ 2a + b $ otrzymujemy żądaną równość (1).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź