XIV OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $ p $, $ q $, $ r $ spełniają równości

\[<br />
(1) \qquad  p+q + r=1<br />
\]
\[<br />
(2) \qquad  \frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} = 0<br />
\]

to dla dowolnych liczb $ a $, $ b $, $ c $ zachodzi równość

\[<br />
(3) \qquad   a^2 + b^2 + c^2 = (pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2.<br />
\]

Rozwiązanie

Z równości (2) wynika, że

\[<br />
(4) \qquad  pq + qr + rp = 0.<br />
\]

Ponieważ

\[<br />
(p + q + r)^2 = p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + qr + rp),<br />
\]

więc na mocy (1) i (4)

\[<br />
(5) \qquad  p^2 + q^2 + r^2 = 1.<br />
\]

Zatem

\[<br />
\begin{split}<br />
&(pa + qb + rc)^2 + (qa + rb + pc)^2 + (ra + pb + qc)^2 =\\<br />
&\qquad = (p^2 + q^2 + r^2) (a^2 + b^2 + c^2) + 2(pq + qr + rp) (ab + bc + ca)=\\<br />
&\qquad  = a^2 + b^2 + c^2.<br />
\end{split}<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź