XIV OM - II - Zadanie 2

Na płaszczyźnie dany jest czworokąt $ ABCD $ i punkt $ M $. Zbudować równoległobok o środku $ M $ i o wierzchołkach leżących na prostych $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $.

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że równoległobok $ PQRS $ czyni zadość warunkowi zadania, przy czym $ P $ jest tym wierzchołkiem, który leży na prostej $ AB $. Symetryczny doń względem punktu $ M $ wierzchołek $ R $ leży na jednej z prostych $ BC $, $ CD $, $ DA $. Rozważymy najpierw przypadek, gdy $ R $ leży na prostej $ BC $. Możemy wówczas przyjąć, że wierzchołek $ Q $ leży na prostej $ CD $, a wierzchołek $ S $ na prostej $ DA $; gdyby bowiem było odwrotnie, zmienilibyśmy po prostu oznaczenie $ Q $ na $ S $, a $ S $ na $ Q $.

Niech $ A_1 $, $ B_1 $, $ C_1 $, $ D_1 $ oznaczają punkty symetryczne odpowiednio do $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ względem punktu $ M $. Ponieważ punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ są symetryczne odpowiednio do punktów $ R $, $ S $, $ P $, $ Q $, więc leżą one na prostych $ B_1C_1 $, $ D_1A_1 $, $ A_1B_1 $, $ C_1D_1 $. Jeżeli zatem równoległobok $ PQRS $ jest rozwiązaniem zadania, to

\[ P \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } AB \textrm{ i } B_1C_1 \]
\[ Q \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } CD \textrm{ i } D_1A_1 \]
\[ R \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } BC \textrm{ i } A_1B_1 \]
\[ S \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } DA \textrm{ i } C_1D_1 \]

Konstrukcja takich punktów jest zawsze wykonalna; istotnie, proste $ AB $ i $ B_1C_1 $ przecinają się, gdyż prosta $ B_1C_1 $ jest równoległa do prostej $ BC $ przecinającej prostą $ AB $ w punkcie $ B $ i tak samo przecinają się proste każdej z pozostałych par.

Należy jeszcze zbadać, czy wyznaczone w ten sposób punkty $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $ są rzeczywiście wierzchołkami równoległoboku. Z konstrukcji wynika, że $ P $ i $ R $ i tak samo $ Q $ i $ S $ są punktami symetrycznymi względem punktu $ M $. Jeżeli proste $ PR $ i $ QS $ są różne, to $ P $, $ Q $, $ R $, $ S $, tworzą równoległobok (rys. 18).

Jednakże proste $ PR $ i $ QS $ mogą się pokrywać, wówczas nie otrzymujemy równoległoboku, lecz figurę, która jest przypadkiem granicznym równoległoboku i którą możemy nazwać równoległobokiem zniekształconym.

Tworzą ją dwie pary punktów $ (P, R) $ i $ (Q, S) $ o wspólnym środku, położone na tej samej prostej. Taki przypadek zachodzi na przykład, gdy czworokąt $ ABCD $ jest symetryczny względem prostej $ BD $, a punkt $ M $ leży na tej prostej (rys. 19).

Może się zdarzyć, że pary $ (P, R) $ i $ (Q, S) $ są identyczne, np. że $ P $ pokrywa się z $ Q $ a $ R $ z $ S $; przypadek ten zachodzi wtedy, gdy $ M $ jest środkiem odcinka łączącego punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $ z punktem przecięcia prostych $ AD $ i $ BC $ (rys. 20). Mogą się też pokrywać punkty jednej z par $ (P, R) $ i $ (Q, S) $, np. punkt $ P $ z punktem $ R $; ma to miejsce wtedy, gdy punkt $ M $ znajduje się w wierzchołku $ B $ czworokąta (rys. 21).

Równoległobok zniekształcony będziemy też uważali za rozwiązanie zadania. Możemy wówczas powiedzieć, że zadanie ma zawsze jedno takie rozwiązanie $ PQRS $, w którym $ R $ leży na prostej $ BC $. Analogicznie znajdujemy drugie rozwiązanie, w którym $ R $ leży na prostej $ AD $. Oba te rozwiązania mogą się pokrywać; zachodzi to wtedy, gdy punkt $ M $ jest środkiem odcinka łączącego punkt przecięcia prostych $ AB $ i $ CD $ z punktem przecięcia prostych $ AD $ i $ BC $. Uzasadnienie tego wniosku pozostawiamy jako ćwiczenie.

Pozostaje do rozstrzygnięcia sprawa tych rozwiązań $ PQRS $, w których $ P $ leży na $ AB $, $ R $ na $ CD $, $ Q $ na $ BC $ a $ S $ na $ DA $. Rozumując jak poprzednio, stwierdzamy że jeżeli takie rozwiązanie istnieje, to

\[ P \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } AB \textrm{ i } C_1D_1 \]
\[ Q \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } BC \textrm{ i } D_1A_1 \]
\[ R \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } CD \textrm{ i } A_1B_1 \]
\[ S \textrm{ jest punktem wspólnym prostych } DA \textrm{ i } B_1C_1. \]

Jeżeli czworokąt $ ABCD $ nie ma boków równoległych, to punkty takie istnieją, np. prosta $ C_1D_1 $ przecina $ AB $, gdyż jest równoległa do $ CD $; zadanie ma zawsze jedno rozwiązanie rozważanego typu, które może być równoległobokiem zniekształconym.

Rozwiązanie to pokrywa się ze znalezionym poprzednio rozwiązaniem pierwszego typu, gdy $ M $ jest środkiem odcinka $ AC $, a z rozwiązaniem drugiego typu, gdy $ M $ jest środkiem odcinka $ BD $; proponujemy, aby czytelnik to sam uzasadnił.

Jeżeli $ AB $ jest równoległe do $ CD $, a $ BC $ nie jest równoległe do $ AD $, to łatwo stwierdzić, że:

a) zadanie nie ma rozwiązania omawianego typu, gdy punkt $ M $ nie jest równoodległy od prostych $ AB $ i $ CD $,

b) zadanie ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy punkt $ M $ jest równoodległy od $ AB $ i $ CD $; punkt $ P $ można wówczas obrać dowolnie na prostej $ AB $.

Jeżeli wreszcie $ ABCD $ jest równoległobokiem, to zadanie ma tylko wtedy rozwiązanie trzeciego typu, gdy punkt $ M $ jest środkiem tego równoległoboku. Punkty $ P $ i $ Q $ można wówczas obrać dowolnie na prostych $ AB $ i $ BC $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź