XIV OM - II - Zadanie 3

Rozwiązać w liczbach całkowitych układ równań

\[<br />
(1) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x + y + z = 3\\<br />
x^3 + y^3 + z^3 = 3.<br />
\end{array}<br />
\]

Rozwiązanie

Układ równań (1) jest równoważny układowi

\[<br />
(2) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x+y+z=3\\<br />
(x + y + z)^3 - (x^3 + y^3 + z^3) = 24.<br />
\end{array}<br />
\]

W drugim z powyższych równań lewa strona jest wielomianem $ 3 $ stopnia zmiennych $ x $, $ y $, $ z $, który jest tożsamościowo równy zeru, gdy $ x = - y $; wielomian ten jest więc podzielny przez $ x + y $. Tak samo stwierdzamy, że jest on podzielny przez $ y + z $ i przez $ z + x $. Zatem dla wszelkich $ x $, $ y $, $ z $

\[<br />
(x, + y + z)^3 - (x^3 +y^3 + z^3) = k(x + y) (y + z) (z + y)<br />
\]

gdzie $ k $ jest współczynnikiem liczbowym. Wartość $ k $ znajdziemy, podstawiając do obu stron powyższej tożsamości wartości liczbowe za $ x $, $ y $, $ z $, np. $ x = 0 $, $ y = z = 1 $. Otrzymujemy $ k = 3 $, wobec czego układ (2) przybiera postać

\[<br />
(3) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x + y + z = 3\\<br />
(x + y) (y + z) (z + x) = 8.<br />
\end{array}<br />
\]

Zadanie sprowadza się więc do tego, aby liczbę $ 8 $ przedstawić w postaci iloczynu trzech czynników całkowitych, których suma $ x + y + y + z + z+ x = 6 $.

Ponieważ dzielnikami liczby $ 8 $ są liczby $ \pm 1 $, $ \pm 2 $, $ \pm 4 $, $ \pm 8 $, więc łatwo stwierdzić, że istnieją dwa rozkłady o żądanej własności:

\[<br />
8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = (- 1) \cdot (- 1) \cdot 8.<br />
\]

Stąd prosty rachunek prowadzi do wyniku, że układ (3), zatem również układ (1), ma $ 4 $ rozwiązania w liczbach całkowitych: $ (1, 1, 1) $, $ (-5, 4, 4) $, $ (4, -5, 4) $, $ (4, 4, -5) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź