XIV OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że wielomian

\[<br />
(1) \qquad  P(x) = nx^{n+2} -(n + 2)x^{n+1} + (n + 2)x-n<br />
\]

jest podzielny przez wielomian $ (x - 1)^3 $.

Rozwiązanie

Trzeba dowieść, że dany wielomian $ P(x) $ może być napisany w postaci $ (x - 1)^3 \cdot Q(x) $, gdzie $ Q(x) $ jest wielomianem zmiennej $ x $. Odpowiednie przekształcenie wielomianu $ P(x) $ będzie łatwiejsze, gdy zamiast zmiennej $ x $ wprowadzimy zmienną $ y = x - 1 $, tzn. jeżeli w danym wielomianie podstawimy $ x = 1 + y $. Wtedy

\[<br />
\begin{split}<br />
P(x) &= n(1 + y)^{n + 2} - (n + 2) (1 + y)^{n+1} +  (n + 2) (1 + y) - n =\\<br />
& = n \left[ 1 + (n + 2)y + \frac{1}{2}(n + 2)(n + 1)y^2 + A(y)y^3 \right]+\\<br />
&\qquad -(n + 2) \left[1 + (n+ 1)y + \frac{1}{2}(n + 1)ny^2 + B(y)y^3 \right] +\\<br />
&\qquad +(n + 2) + (n + 2)y - n,<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ A(y) $ i $ B(y) $ są pewnymi wielomianami zmiennej $ y $, których dokładniejsze wyznaczenie nie będzie nam potrzebne. Porządkując otrzymane wyrażenie względem potęg $ y $ otrzymujemy

\[<br />
\begin{split}<br />
P(x) = [n - (n& + 2) + (n + 2) - n] + [n(n + 2) - (n + 2)(n + 1) + n + 2]y +\\<br />
&+\left[ \frac{1}{2} n(n + 2) (n + 1) - \frac{1}{2}(n + 2) (n + 1)n \right] y^2 + \\<br />
&+[nA(y) -(n+ 2)B(y)]y^3,<br />
\end{split}<br />
\]

zatem

\[<br />
(2) \qquad  P(x) = y^3[nA(y) - (n + 2) B(y)] = (x - 1)^3 \cdot Q(x),<br />
\]

gdzie $ Q(x) $ równa się pewnemu wielomianowi zmiennej $ x $, którego współczynników nie ma potrzeby wyznaczać, gdyż ze wzoru (2) wynika już, że $ (x - 1)^3 $ jest dzielnikiem wielomianu $ P(x) $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź