XIV OM - II - Zadanie 6

Z punktu $ S $ przestrzeni wychodzą $ 3 $ półproste: $ SA $, $ SB $ i $ SC $, z których żadna nie jest prostopadła do obu pozostałych. Przez każdą z tych półprostych poprowadzono płaszczyznę prostopadłą do płaszczyzny zawierającej dwie pozostałe półproste. Dowieść, że poprowadzone płaszczyzny przecinają się wzdłuż jednej prostej $ d $.

Rozwiązanie

W przypadku, gdy dane półproste leżą w jednej płaszczyźnie, twierdzenie jest oczywiste, prosta $ d $ jest wówczas prostopadła do danej płaszczyzny. Przyjmijmy zatem, że półproste $ SA $, $ SB $, $ SC $ tworzą kąt trójścienny. Według założenia, co najwyżej jeden kąt płaski tego trójścianu jest prosty; przypuśćmy np. że $ \measuredangle ASB \ne 90^\circ $ i $ \measuredangle ASC \ne 90^\circ $.

Obierzmy na krawędzi $ SA $ dowolny punkt $ A_1 $ różny od $ S $ i poprowadźmy przez $ A_1 $ płaszczyznę $ \pi $ prostopadłą do prostej $ SA_1 $; przecina ona proste $ SB $ i $ SC $ w pewnych punktach $ B_1 $ i $ C_1 $ (rys. 25).

Niech $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ oznaczają płaszczyzny poprowadzone odpowiednio przez krawędzie $ SA $, $ SB $, $ SC $ trójścianu $ SABC $ prostopadle do ścian $ BSC $, $ CSA $, $ ASB $, a $ m $, $ n $, $ p $ proste przecięcia płaszczyzn $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ z płaszczyzną $ \pi $.

Ponieważ $ \alpha \bot \pi $ i $ \alpha \bot \textrm{pł. } BSC $, więc $ \alpha \bot B_1C_1 $, wobec czego prosta $ m $ przecina prostą $ B_1C_1 $ w pewnym punkcie $ M $ i jest do niej prostopadła, $ A_1M \bot B_1C_1 $. Ponieważ $ \beta \bot \textrm{pł. } ASC $ i $ \pi \bot \textrm{pł. }ASC $, więc $ \pi \bot \textrm{pł. }ASC $, zatem również $ \pi \bot A_1C_1 $, a że $ n $ i $ A_1C_1 $ leżą w płaszczyźnie $ \pi $, więc się przecina ją w pewnym punkcie $ N $ i $ B_1N \bot A_1C_1 $. Tak samo stwierdzamy, że prosta $ p $ przecina prostą $ A_1B_1 $ w pewnym punkcie $ P $ i jest do niej prostopadła, tj. $ C_1P \bot A_1B_1 $.

Proste $ A_1M $, $ B_1N $ i $ C_1P $ zawierają zatem wysokości trójkąta $ A_1B_1C_1 $, więc przecinają się w jednym punkcie $ H $. Udowodniliśmy, że płaszczyzny $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ mają wspólną prostą $ d = SH $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź