XIV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi nierówność

\[<br />
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n-1}.<br />
\]

Rozwiązanie

Oznaczmy dla krótkości $ 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}}= S_n $. Mamy dowieść, że $ S_n > \sqrt{n - 1} $ dla każdego naturalnego $ n $. Nasuwa się myśl, żeby zastosować indukcję zupełną.

Twierdzenie jest prawdziwe dla $ n = 1 $, gdyż $ S_1 = 1 > 0 $. Przypuśćmy, że $ S_k > \sqrt{k-1} $ dla pewnego naturalnego $ k \geq 1 $. Wówczas

\[<br />
S_{k+1} = S_k + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k-1} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}.<br />
\]

Twierdzenie będzie dowiedzione, jeśli wykażemy, że

\[<br />
\sqrt{k - 1} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k}.<br />
\]

Przekształcając tę nierówność, otrzymujemy kolejno nierówności równoważne

\[<br />
\sqrt{k^2 - 1} + 1 \geq \sqrt{k(k + 1)},<br />
\]
\[<br />
k^2 - 1 + 1 + 2\sqrt{k^2 - 1} \geq k^2 + k,<br />
\]
\[<br />
2\sqrt{k^2 - 1} \geq k,<br />
\]
\[<br />
3k^2 \geq 4.<br />
\]

Otrzymaliśmy nierówność, która nie jest prawdziwa dla $ k = 1 $, wobec czego z założenia indukcyjnego nie możemy wysnuć potrzebnego nam wniosku. Jednakże jest ona prawdziwa dla każdego naturalnego $ k \geq 2 $. Wobec tego trzeba zmodyfikować poprzednie rozumowanie. Stwierdzamy prawdziwość twierdzenia nie tylko dla $ n = 1 $, ale i dla $ n = 2 $, mianowicie $ S_2 = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}} > \sqrt{1} $.

Następnie zakładamy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego $ k \geq 2 $; rachunek poprzedni prowadzi do wniosku, że jest ono wówczas prawdziwe dla $ k + 1 $, a zatem na podstawie indukcji jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $.

Zaniedbanie sprawdzenia słuszności twierdzenia dla $ n = 2 $ byłoby poważnym błędem. Jeżeli twierdzenie $ T $ o liczbie naturalnej $ n $ jest prawdziwe dla $ n = 1 $ i jeżeli dla każdego naturalnego $ k > 1 $ z prawdziwości twierdzenia $ T $ dla $ n = k $ wynika jego prawdziwość dla $ n = k + 1 $, to stąd wcale nie można wnioskować, że twierdzenie $ T $ jest prawdziwe dla każdego naturalnego $ n $. Popełniając ten błąd można by ,,udowodnić'' różne fałszywe twierdzenia, np. takie: ,,W dowolnym ciągu $ n $ liczb całkowitych każda liczba ma tę samą resztę w dzieleniu przez $ 2 $''. Oto ,,dowód'': dla $ n = 1 $ twierdzenie jest prawdziwe.

Przypuśćmy, że jest ono prawdziwe dla pewnego $ k > 1 $. Wówczas jest ono również prawdziwe dla $ n = k + 1 $. Istotnie, niech $ a_1, \ldots, a_{k +1} $ będzie dowolnym ciągiem $ k + 1 $ liczb naturalnych. Na mocy założenia indukcyjnego liczby $ a_1, \ldots, a_k $ i tak samo liczby $ a_2, \ldots, a_{k + 1} $ mają tę samą resztę w dzieleniu przez $ 2 $. Ponieważ $ k > 1 $, więc ciągi $ a_1, \ldots, a_k $ i $ a_2, \ldots, a_{k + 1} $ mają co najmniej jedną liczbę wspólną, zatem wszystkie liczby $ a_1, \ldots, a_{k + 1} $ mają tę samą resztę przy dzieleniu przez $ 2 $.

Zauważmy, że dowód nierówności $ S_n > \sqrt{n - 1} $ można bardzo łatwo przeprowadzić bez stosowania indukcji. Gdy $ n = 1 $, nierówność jest prawdziwa, gdy zaś $ n > 1 $, to

\[<br />
1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{\sqrt{n}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{n}{\sqrt{n}} = \sqrt{n} > \sqrt{n-1}.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź