XIV OM - III - Zadanie 6

Przez wierzchołek kąta trójściennego, w którym żadna krawędź nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, poprowadzono w płaszczyźnie każdej ściany prostą prostopadłą do przeciwległej krawędzi. Dowieść, że otrzymane trzy proste leżą w jednej płaszczyźnie.

Rozwiązanie

Niech $ SM $, $ SN $ i $ SP $ oznaczają proste odpowiednio prostopadłe do krawędzi $ SA $, $ SB $, $ SC $ trójścianu $ SABC $ i leżące w płaszczyznach ścian $ BSC $, $ CSA $, $ ASB $. Wobec założenia, że żadna krawędź trójścianu nie jest prostopadła do przeciwległej ściany, proste $ SM $, $ SN $ i $ SP $ są określone jednoznacznie.

Niech następnie $ \lambda $, $ \mu $, $ \nu $ oznaczają płaszczyzny poprowadzone odpowiednio przez krawędzie $ SA $, $ SB $, $ SC $ i prostopadłe do prostych $ SM $, $ SN $, $ SP $. Płaszczyzny $ \lambda $, $ \mu $, $ \nu $ są odpowiednio prostopadłe do płaszczyzn $ SBC $, $ CSA $, $ ASB $, wobec czego mają one wspólną prostą $ d $ (patrz zadanie 18). Ponieważ $ SM $ jest prostopadłe do płaszczyzny $ \lambda $ zawierającej prostą $ d $, więc $ SM \bot d $ i tak samo $ SN \bot d $, $ SP \bot d $.

Proste $ SM $, $ SN $, $ SP $ leżą, zatem w jednej płaszczyźnie prostopadłej do prostej $ d $ (rys. 33).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź