XIII OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $ x^2 + y^2 = a^2 $ i $ a \geq 0 $, to

\[<br />
 x + y \leq a \sqrt{2}.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ

\[<br />
(x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 2x^2 + 2y^2 - (x - y)^2 = 2a^2 - (x - y)^2<br />
\]

a $ (x -y)^2 \geq 0 $, więc $ (x + y)^2 \leq 2a^2 $, skąd $ |x + y| \leq a \sqrt{2} $, tym bardziej więc

\[<br />
x+y \leq a\sqrt{2}.<br />
\]

Uwaga. Posługując się początkowymi wiadomościami z geometrii analitycznej można podać prostą interpretację geometryczną udowodnionego twierdzenia. W układzie współrzędnych prostokątnych $ (x,y) $ równanie $ x^2 + y^2 = a^2 $ ($ a \geq 0 $) przedstawia okrąg o środku w początku układu i promieniu równym $ a $. Równanie $ x + y = k $ ($ k \ne 0 $) przedstawia prostą wyznaczającą na osiach współrzędnych odcinki równe $ k $.

Suma $ x + y $ współrzędnych punktu okręgu osiąga największą wartość $ k $, gdy prosta $ x + y = k $ jest styczna do okręgu w punkcie pierwszej ćwiartki (rys. 1). Wówczas $ k = a \sqrt{2} $. Dla każdego punktu okręgu zachodzi zatem nierówność $ x + y \leq a \sqrt{2} $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź