XIII OM - I - Zadanie 2

Ile cyfr mają razem wszystkie liczby naturalne co najwyżej $ m $-cyfrowe?

Rozwiązanie

Liczb naturalnych jednocyfrowych jest $ c_1 = 9 $; liczb dwucyfrowych jest $ c_2= 10^2 -10= 10 \cdot 9 $, mają one $ 2 \cdot 10 \cdot 9 $ cyfr; liczb trzycyfrowych jest $ c_3=10^3-10^2= 10^2 \cdot 9 $, ilość ich cyfr wynosi $ 3 \cdot 10^2 \cdot 9 $ itd. Wreszcie liczb $ m $-cyfrowych jest $ c_m = 10^m -10^{m-1} = 10^{m-1} \cdot 9 $; mają one $ c_m =m \cdot 10^{m-1} \cdot 9 $ cyfr.

Wszystkie liczby co najwyżej $ m $-cyfrowe mają razem

\[<br />
(1) \qquad  c = c_1 + c_2 + \ldots + c_m = 9 (1 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot  10^2 + \ldots + m \cdot 10^{m-1})<br />
\]

cyfr. Aby obliczyć wartość wyrażenia znajdującego się we wzorze (1) w nawiasach, rozwiążemy najpierw zadanie ogólniejsze, a mianowicie znajdziemy wzór na sumę

\[<br />
(2) \qquad  S = 1+ 2a + 3a^2 + \ldots + ma^{m-1},<br />
\]

gdzie $ a \ne 1 $, w zależności od $ a $. Z równości (2) otrzymujemy

\[<br />
(3) \qquad  a \cdot S = a + 2a^2 + 3a^3 + \ldots + ma^m.<br />
\]

Odejmując równość (3) od (2) mamy

\[<br />
S -aS = 1+ a + a^2 + \ldots + a^{n-1} - ma^m = \frac{1-a^m}{1-a} - ma^m,<br />
\]

a stąd

\[<br />
S= \frac{1-a^n}{(1-a)^2} - \frac{ma^m}{1-a} = \frac{1-a^m-ma^m(1-a)}{(1-a)^2}.<br />
\]

Po uporządkowaniu wyrazów otrzymujemy wzór

\[<br />
(4) \qquad  S= \frac{1}{(a-1)^2} \left[ma^{m+1} - (m + 1) a^m + 1 \right].<br />
\]

Biorąc w (2) i (4) $ a = 10 $ i podstawiając otrzymaną wartość sumy (2) do równości (1), otrzymujemy poszukiwaną liczbę

\[<br />
c = \frac{1}{9} \left[m \cdot 10^{m+1} -(m + 1) \cdot 10^m + 1 \right]<br />
\]

Uwaga. Wzór (4) wyprowadziliśmy przy założeniu, że $ a \ne 1 $. Gdy $ a = 1 $, wzór (4) nie ma sensu; w tym przypadku wartość $ S $ otrzymamy podstawiając $ a = 1 $ we wzorze (2):

\[<br />
S = 1 + 2 + 3 + \ldots + m,<br />
\]

zatem według znanego wzoru na postęp arytmetyczny

\[<br />
(5) \qquad  S = \frac{m (m + 1)}{2}.<br />
\]

Możemy jednak do wzoru (5) dojść na podstawie wzoru (4) przeprowadzając następujące rozumowanie.

Niech $ a -1= x $; podstawiającwe wzorze (4) $ a = 1 + x $ otrzymujemy

\[<br />
S = \frac{1}{x^2} \left[ m (1 + x)^{m+1} -(m + 1) (1 + x)^m + 1\right] .<br />
\]

Rozwińmy $ (1 + x)^{m+1} $ i $ (1 + x)^m $ według wzoru dwumianowego Newtona. Obliczymy tylko wyrazy zawierające $ x^0 $, $ x $ i $ x^2 $; pozostałe wyrazy tworzą wielomian zmiennej $ x $, w którym wszystkie wyrazy są stopnia co najmniej trzeciego i możemy napisać

\[<br />
\begin{split}<br />
S & = \frac{1}{x^2} \left[<br />
m + m(m + 1)x+ \frac{1}{2} m^2(m+ 1) x^2 - (m + 1) -m (m + 1) x + \right. \\<br />
& \left. - \frac{1}{2} (m + 1) m (m - 1) x^2 + 1 + x^3 \cdot f (x)\right] =<br />
\frac{1}{x^x} \left[ \frac{1}{2} m (m + 1) x^2<br />
+ x^3 \cdot f (x)\right],<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ f(x) $ oznacza pewien wielomian zmiennej $ x $.

Stąd

\[<br />
S = \frac{1}{2} m(m+1) + x \cdot f(x)<br />
\]

lub

\[<br />
(6) \qquad  S = \frac{1}{2} m (m + 1) + (a - 1) \cdot f (a - 1).<br />
\]

Podstawiając we wzorze (6) $ a = 1 $ otrzymujemy wzór (5). Okazuje się więc, że wzór (6) daje wartość sumy (2) dla każdej wartości $ a $. Jest on jednak przydatny do obliczenia tej sumy tylko w przypadku, gdy $ a = 1 $; gdy $ a \ne 1 $, trzeba mu przywrócić postać (4).

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź