XIII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że prostopadłe opuszczone ze środków kół dopisanych trójkąta na odpowiednie boki trójkąta przecinają się w jednym punkcie.

Rozwiązanie

Bardzo proste rozwiązanie zadania można wysnuć ze spostrzeżenia, że na każdym boku trójkąta punkt styczności koła wpisanego w trójkąt i punkt styczności odpowiedniego koła dopisanego leżą symetrycznie względem środka tego boku. Jeżeli na przykład koło wpisane w trójkąt $ ABC $ styka się z bokiem $ BC $ w punkcie $ K $, a koło dopisane w punkcie $ L $, to, przyjmując zwykłe oznaczenia boków trójkąta, mamy $ CK = \frac{1}{2} (a + b - c) $, $ BL = \frac{1}{2} (a + b - c) $, zatem $ CK = BL $, tj. punkty $ K $ i $ L $ są symetryczne względem środka $ M $ boku $ BC $ (rys. 3).

Niech $ S $ będzie środkiem koła wpisanego w trójkąt $ ABC $, $ O $ - środkiem koła opisanego na tym trójkącie, a $ T $ punktem symetrycznym do punktu $ S $ względem punktu $ O $. Ponieważ $ SO = OT $, $ KM = ML $, a proste $ SK $ i $ OM $ są równoległe, więc prosta $ TL $ jest symetryczna do prostej $ SK $ względem osi $ OM $. Wobec tego prosta $ TL $ jest prostopadła do boku $ BC $ w punkcie styczności z kołem dopisanym, przechodzi zatem przez środek tego koła. Takie samo rozumowanie stosuje się do boków $ AB $ i $ AC $. Stąd wynika, że przez punkt $ T $ przechodzą prostopadłe poprowadzone ze środków kół dopisanych do odpowiednich boków trójkąta.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź