XIII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że prosta symetryczna do środkowej $ CS $ trójkąta $ ABC $ względem dwusiecznej kąta $ C $ tego trójkąta dzieli bok $ AB $ na odcinki proporcjonalne do kwadratów boków $ AC $ i $ BC $.

Rozwiązanie

Niech $ CM $ (rys. 4) będzie prostą symetryczną do środkowej $ CS $ względem dwusiecznej $ CD $ kąta $ C $ trójkąta $ ABC $.

Ponieważ pola trójkątów o tej samej wysokości są proporcjonalne do podstaw tych trójkątów, więc

\[<br />
(1) \qquad<br />
\frac{\triangle ACM}{\triangle SCB} = \frac{AM}{SB}, \quad<br />
\frac{\triangle ACS}{\triangle MCB} = \frac{AS}{MB}.<br />
\]

Z równości $ \measuredangle ACD = \measuredangle DCB $ i $ \measuredangle MCD = \measuredangle DCS $ wynika, że $ \measuredangle ACM = \measuredangle SCB $ a $ \measuredangle ACS = \measuredangle MCB $. Pola trójkątów mających jedną parę równych kątów są proporcjonalne do iloczynów boków tworzących te kąty, zatem

\[<br />
(2) \qquad<br />
\frac{\triangle ACM}{\triangle SCB} = \frac{AC \cdot MC}{SC \cdot BC},\quad<br />
\frac{\triangle ACS}{\triangle MCB} = \frac{AC \cdot SC}{MB \cdot BC}.<br />
\]

Z równości (1) i (2) wynika, że

\[<br />
(3) \qquad<br />
\frac{AM}{SB} = \frac{AC \cdot MC}{SC \cdot BC},\quad<br />
\frac{AS}{MB} = \frac{AC \cdot SC}{MC \cdot BC}.<br />
\]

Mnożąc te równości stronami i uwzględniając, że $ SB = AS $, otrzymujemy

\[<br />
\frac{AM}{MB} = \left( \frac{AC}{BC} \right)^2,<br />
\]

czego należało dowieść.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź