XIII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że wszystkie potęgi liczby, której ośmioma cyframi końcowymi są $ 12890625 $, mają też na końcu cyfry $ 12890625 $.

Rozwiązanie

Mamy dowieść, że jeżeli $ n $ i $ l $ są liczbami całkowitymi, przy czym $ n > 0 $, $ l \geq 0 $, to

\[<br />
(12890625 + 10^8 \cdot l)^n = 12890625 + 10^8 \cdot m,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą całkowitą nieujemną.

Zauważmy najpierw, że w rozwinięciu lewej strony powyższej równości według wzoru Newtona dla potęgi dwumianu wszystkie wyrazy z wyjątkiem wyrazu $ (12890625)^n $ mają czynnik $ 108 $. Wyrazy te możemy przenieść na prawą stronę i sprowadzić zadanie do postaci następującej:

Dowieść, że dla każdego naturalnego $ n $

\[<br />
(1) \qquad  (12890625)^n = 12890625 + 10^8 \cdot k_n'<br />
\]

gdzie $ k_n $ jest liczbą całkowitą, zależną oczywiście od $ n $.

Gdy $ n = 1 $, wzór (1) jest prawdziwy, $ k_1 = 0 $.

Udowodnimy, że wzór (1) jest prawdziwy dla $ n = 2 $; trzeba w tym celu obliczyć kwadrat liczby $ 12890625 $; nie potrzeba jednak wyznaczać wszystkich cyfr tego kwadratu, a wystarczy znaleźć tylko $ 8 $ ostatnich. Można na przykład skorzystać z tego, że kwadrat sumy kilku liczb równa się sumie kwadratów tych liczb i podwojonych iloczynów wszystkich par tych liczb i rachować w taki sposób:

\[<br />
\begin{split}<br />
(1289 & 0625)^2 = (5 + 2 \cdot 10 + 6 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^6 + \\<br />
& + 1 \cdot 10^7)^2 = 25 + 20 \cdot 10 + (60 + 4) 10^2 + 24 \cdot 10^3 + (90 + 36) \cdot 10^4 +\\<br />
& + (80 + 36) \cdot 10^5 + (20 + 32 + 108) \cdot 10^6 + (10 + 8 + 96) \cdot 10^7 + l \cdot 10^8 =\\<br />
& = 5 + 2 \cdot 10 + 6 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^3 + 9 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^5 + 2 \cdot 10^6 + 1 \cdot 10^7 + 10^8 \cdot k_2 = \\<br />
& = 12890625 + 10^8 \cdot k_2.<br />
\end{split}<br />
\]

Jeżeli wzór (1) jest prawdziwy dla pewnej liczby naturalnej $ n $, to jest prawdziwy również dla $ n + 1 $, gdyż

\[<br />
\begin{split}<br />
(12890625)^{n + 1} = (12890625)^n \cdot 12890625 = (12890625)^2 + 10^8 \cdot 12890625 \cdot k_n =\\<br />
= 12890625 + 10^8k_2 + 10^8 \cdot 12890625 \cdot k_n = 12890625 + 10^8 k_{n+1},<br />
\end{split}<br />
\]

gdzie $ k_{n+1} = k_2+ 12890625 k_n $.

Na podstawie zasady indukcji zupełnej wnioskujemy stąd, że wzór (1) jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej $ n $.

Uwaga. Ciekawa własność liczby $ 12890625 $, którą poznaliśmy, nasuwa pytanie, czy jest jeszcze więcej liczb o tej samej lub mnej liczbie cyfr, które by miały taką własność. Chodzi zatem o rozwiązanie następującego zagadnienia:

Znaleźć taką liczbę $ k $-cyfrową $ A $, że ostatnie $ k $ cyfr każdej potęgi tej liczby tworzą liczbę $ A $.

Tak samo jak w rozwiązaniu poprzednim stwierdzamy, że gdy kwadrat liczby $ A $ spełnia warunek zadania, to spełnia je każda potęga tej liczby. Ostatecznie więc zadanie sprowadza się do wyznaczenia takiej $ k $-cyfrowej liczby $ A $, że

\[<br />
(2) \qquad  A^2 = A + 10^k \cdot m,<br />
\]

gdzie $ m $ jest liczbą całkowitą.

Gdy $ k=1 $, rozwiązanie jest natychmiastowe, liczbami poszukiwanymi są $ 0 $, $ 1 $, $ 5 $ i $ 6 $. Wobec tego przyjmiemy w dalszym ciągu, że $ k>1 $.

Przypuśćmy, że równość (2) zachodzi dla pewnej liczby naturalnej $ k $-cyfrowej $ A $. Możemy tę równość napisać w postaci

\[<br />
(3) \qquad  A (A - 1) = 2^k \cdot 5^k \cdot m \      (m = \textrm{liczba naturalna}).<br />
\]

Liczby $ A $ i $ A-1 $ są pierwsze względem siebie, gdyż każdy wspólny podzielnik tych liczb jest również podzielnikiem ich różnicy równej $ 1 $, więc takim podzielnikiem jest tylko $ 1 $ lub $ -1 $. Ponieważ $ A < 10^k $, więc jedna z tych liczb jest podzielna przez $ 2^k $, a druga przez $ 5^k $, tzn. możliwe są tylko dwa przypadki:

\[<br />
(a) \qquad A = 2^k \cdot x \quad A-1 = 5^k \cdot y \quad (x,y-1 \textrm{ naturalne})<br />
\]
\[<br />
(b) \qquad A = 5^k \cdot z \quad A - 1 = 2^k \cdot u \quad (z,u - 1 \textrm{ naturalne}).<br />
\]

W przypadku a)

\[<br />
(4) \qquad  2^k \cdot x - 5^k \cdot y = 1,<br />
\]

a w przypadku b)

\[<br />
(5) \qquad  5^k \cdot z - 2^k \cdot u = 1.<br />
\]

Odwrotnie, jeżeli para liczb naturalnych $ (x, y) $ spełnia równanie (4), to liczba $ A = 2^k \cdot x $ czyni zadość warunkowi a), zatem również warunkowi (2). Aby liczba ta była rozwiązaniem zadania, trzeba jeszcze żeby miała $ k $ cyfr, tzn. żeby był spełniony warunek

\[<br />
(6) \qquad  10^{k-1} \leq 2^k \cdot x < 10^k.<br />
\]

Podobnie, jeżeli para liczb naturalnych $ (z, u) $ spełnia równanie (5), to liczba $ A = 5^k \cdot z $ jest rozwiązaniem zadania o ile spełnia warunek

\[<br />
(7) \qquad  10^{k-1} \leq 5^k \cdot z < 10^k.<br />
\]

Aby zbadać, czy równania (4) i (5) mają takie rozwiązania, rozpatrzymy ogólnie równanie

\[<br />
(8) \qquad  ax - by = 1,<br />
\]

w którym $ a $ i $ b $ są liczbami całkowitymi, większymi od $ 1 $ i pierwszymi względem siebie.

Udowodnimy, że istnieje jedna i tylko jedna para $ (x_0, y_0) $ liczb całkowitych dodatnich spełniających to równanie i warunek $ x_0 < b $. Istotnie, weźmy pod uwagę reszty z dzielenia liczb dodatnich $ ax_k - 1 $ przez $ b $, gdzie $ x_k $ przybiera wartości $ 1, 2, \ldots, b $. Wśród tych reszt nie ma równych, gdyby bowiem zachodziły równości

\[<br />
ax_1 - 1 = b \cdot q_1 + r, \quad ax_2 - 1 = bq_2 + r,<br />
\]

gdzie $ x_1 $ i $ x_2 $ oznaczają dwie różne liczby spośród liczb $ 1, 2, \ldots, b $ a $ q_1 $ i $ q_2 $ - liczby całkowite, to zachodziłaby równość

\[<br />
a (x_1 - x_2) = b (q_1 - q_2),<br />
\]

zatem liczba $ a (x_1 - x_2) $ byłaby podzielna przez $ b $, co jest niemożliwe, gdyż $ a $ i $ b $ są pierwsze względem siebie a różnica $ x_1 - x_2 $ jest co do wartości bezwzględnej mniejsza niż $ b $. Jedna z tych $ b $ reszt musi być zatem równa $ 0 $, odpowiednią wartością $ x_k $ niech będzie $ x_0 $. Liczba $ x_0 $ nie może być równa $ b $, gdyż $ ab - 1 $ nie jest podzielne przez $ b $, więc $ x_0 < b $.

Liczbę całkowitą dodatnią $ \frac{ax_0 - 1}{b} $ oznaczymy literą $ y_0 $, w takim razie

\[<br />
(9) \qquad  ax_0 - by_0= 1.<br />
\]

Jeżeli $ x $ i $ y $ oznaczają dowolne liczby całkowite, spełniające równanie (8), to odejmując równości (8) i (9) otrzymujemy

\[<br />
a (x - x_0) = b (y - y_0).<br />
\]

Ponieważ $ a $ i $ b $ są pierwsze względem siebie, więc $ x - x_0 $ jest podzielne przez $ b $, wobec czego $ x - x_0 = b \cdot t $, gdzie $ t $ jest liczbą całkowitą, a $ y - y_0 = at $, skąd

\[<br />
(10) \qquad  x = x_0 + bt,<br />
\]
\[<br />
y = y_0 + at.<br />
\]

Wszystkie rozwiązania równania (8) w liczbach całkowitych $ x $, $ y $ otrzymujemy zatem ze wzorów (10), podstawiając zamiast $ t $ liczby całkowite. Liczby te są dodatnie i spełniają warunek $ x < b $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ t = 0 $, tj. gdy $ x = x_0 $, $ y = y_0 $.

Z powyższego wynika, że istnieje jedna i tylko jedna para liczb całkowitych $ (x_0, y_0) $ spełniających równanie (4) i warunki $ x_0 > 0 $, $ y_0 > 0 $, $ x_0 < 5^k $, wobec czego $ A = 2^k \cdot x_0 < 10^k $; liczba $ A $ jest zatem co najwyżej $ k $-cyfrowa. Może się jednak zdarzyć, że $ A $ ma mniej niż $ k $ cyfr. Umówimy się, że w takim przypadku dopiszemy z lewej strony $ A $ zamiast brakujących cyfr odpowiednią liczbę zer i będziemy uważali, że otrzymaliśmy $ k $-cyfrowe rozwiązanie zadania. Przy takiej umowie zadanie ma dla każdego $ k > 1 $ jedno rozwiązanie postaci $ A = 2^k \cdot x $ ($ x - 1 $ naturalna). Analogicznie równanie (5) prowadzi do drugiego rozwiązania postaci $ A = 5^k \cdot z $ ($ z - 1 $ naturalna).

Na przykład dla $ k = 3 $ mamy rozwiązania $ A_ = 625 $ i $ A_2 = 376 $, dla $ k = 4 $ rozwiązaniami są $ A_1 = 0625 $ i $ A_2 = 9376 $, dla $ k = 9 $ jednym rozwiązaniem jest $ A_1 = 212890625 $; niech czytelnik sam poszuka drugiego rozwiązania. Aby je znaleźć bez długiego rachowania, trzeba się zapoznać z teorią równań nieoznaczonych stopnia pierwszego o $ 2 $ niewiadomych; znajdzie ją czytelnik np. w książkach prof. W. Sierpińskiego Teoria liczb i Arytmetyka teoretyczna.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź