XIII OM - I - Zadanie 6

Rozłożyć na czynniki rzeczywiste trójmian

\[<br />
x^4 + px^2 + q,<br />
\]

gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami rzeczywistymi spełniającymi nierówność

\[<br />
p^2 - 4q < 0.<br />
\]

Rozwiązanie

Z nierówności $ p^2 - 4g < 0 $ wynika, że trójmian $ y^2 + py + q $ nie ma pierwiastków rzeczywistych; w takim razie również trójmian $ x^4 + px^2 + q $ nie ma pierwiastków rzeczywistych, gdyby bowiem liczba $ x $ była pierwiastkiem rzeczywistym drugiego trójmianu, to liczba $ y=x^2 $ byłaby rzeczywistym pierwiastkiem pierwszego trójmianu. W takim razie poszukiwany rozkład może mieć tylko postać

\[<br />
x^4 + px^2 + q = (x^2 + \alpha x + \beta) (x^2 + \gamma x + \delta).<br />
\]

Porównując współczynniki przy tych samych potęgach $ x $ po obu stronach powyższej równości otrzymujemy równania

\[ (1) \qquad  \alpha + \gamma = 0, \]
\[ (2) \qquad  \beta + \delta + \alpha \gamma = p, \]
\[ (3) \qquad  \alpha \delta + \beta \gamma = 0, \]
\[ (4) \qquad  \beta \delta = q. \]

Z równania (1) mamy $ \gamma = - \alpha $, podstawienie do równania (3) daje

\[<br />
\alpha (\delta - \beta) = 0,\ \textrm{ stąd } \alpha = 0 \textrm{ lub } \delta = \beta.<br />
\]

a) Jeżeli $ \alpha = 0 $, to z równań (2) i (4) wynika, że

\[<br />
\beta + \delta = p, \quad \beta \delta = q.<br />
\]

Ten układ równań nie ma rozwiązań rzeczywistych, bo $ p^2 - 4q< 0 $.

b) $ \delta = \beta $; z równania (4) otrzymujemy wówczas

\[<br />
\beta = \delta = \pm \sqrt{q}.<br />
\]

Powyższe wartości $ \beta $ i $ \delta $ są rzeczywiste, gdyż z nierówności $ p^2 - 4q < 0 $ wynika, że $ 4q > p^2 $, zatem $ q > 0 $.

Według równania (2) $ \alpha \gamma = p - \beta - \delta $, wobec czego dla wyznaczenia $ \alpha $ i $ \gamma $ mamy układ równań

\[<br />
\alpha + \gamma = 0,<br />
\]
\[<br />
\alpha \gamma = p \mp 2 \sqrt{q}.<br />
\]

Stąd

\[<br />
a^2 = \pm 2 \sqrt{q} - p.<br />
\]

Z nierówności $ 4q > p^2 $ wynika, że $ 2 \sqrt{q} > |p| \geq p $, zatem $ 2 \sqrt{g} - p > 0 $; Ponieważ zaś $ 4q - p^2 = (2 \sqrt{q} - p) (2 \sqrt{g} + p) > 0 $, więc też $ 2 \sqrt{q} + p > 0 $.

Aby zatem otrzymać rzeczywistą wartość na $ \alpha $, należy w powyższym wzorze na $ \alpha^2 $ wziąć znak górny. Otrzymujemy następujące rzeczywiste wartości współczynników $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $, $ \delta $:

\[<br />
\alpha = - \gamma = \pm \sqrt{2 \sqrt{q} - p}, \quad<br />
\beta = \delta = \sqrt{q}.<br />
\]

Poszukiwany rozkład wyraża się wzorem:

\[<br />
x^4 + px^2 + q = (x^2 + \sqrt{2 \sqrt{q} - p} \cdot x + \sqrt{q})<br />
(x^2 - \sqrt{2 \sqrt{q} - p} \cdot x + \sqrt{q}).<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź