XIII OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworokąt skośny $ ABCD $ i płaszczyzna przecinająca proste $ AB $, $ BC $, $ CD $, $ DA $ odpowiednio w punktach $ M $, $ N $, $ P $, $ Q $ różnych od $ A $, $ B $, $ C $, $ D $. Dowieść, że

\[<br />
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1.<br />
\]

Rozwiązanie

Niech $ A' $, $ B' $, $ C' $, $ D' $ oznaczają odpowiednio rzuty prostokątne punktów $ A $, $ B $, $ C $, $ D $ na daną płaszczyznę (rys. 14). Trójkąty prostkątne $ AA'M $ i $ BB'M $ mają równe kąty ostre przy wierzchołku $ M $, więc są podobne. Zatem

\[<br />
\frac{AM}{MB} = \frac{AA'}{BB'} \textrm{ i podobnie }<br />
\frac{BN}{NC} = \frac{BB'}{CC'},\<br />
\frac{CP}{PD} = \frac{CC'}{DD'},\<br />
\frac{DQ}{QA} = \frac{DD'}{AA'}.<br />
\]

Wobec tego

\[<br />
\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} =<br />
\frac{AA'}{BB'} \cdot \frac{BB'}{CC'} \cdot \frac{CC'}{DD'} \cdot \frac{DD'}{AA'} = 1.<br />
\]

Uwaga. Twierdzenie można uogólnić zastępując czworokąt dowolną łamaną zamkniętą.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź