XIII OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

\[<br />
(1) \qquad \left\{<br />
\begin{array}{c}<br />
x (x + y + z)^2 = a^4 (yz)^3\\<br />
y (x + y + z)^2 = b^4 (zx)^3\\<br />
z (x + y + z)^2 = c^4 (xy)^3.<br />
\end{array}\right.<br />
\]

Rozwiązanie

Ponieważ w równaniach występują tylko parzyste potęgi liczb $ a $, $ b $, $ c $, więc bez szkody dla ogólności rozwiązania możemy przyjąć, że te liczby są nieujemne.

1. Rozpatrzmy najpierw przypadek, gdy żadna z liczb $ a $, $ b $, $ c $ nie jest zerem. Jednym rozwiązaniem układu (1) jest $ x = y = z = 0 $. Łatwo dowieść, że każde rozwiązanie $ (x, y, z) $ tego układu, w którym jedna z niewiadomych ma wartość $ 0 $, jest identyczne z rozwiązaniem $ (0, 0, 0) $. Przypuśćmy na przykład, że $ x = 0 $; wówczas z pierwszego równania, wobec założenia, że $ a \ne 0 $, wynika, że $ y $ lub $ x $ równa się zeru. Jeżeli $ y = 0 $, to z trzeciego równania otrzymujemy $ z = 0 $, jeżeli zaś $ z = 0 $, to z drugiego równania wynika, że $ y = 0 $.

Pozostają do wyznaczenia te rozwiązania danego układu równań, w których żadna z wartości niewiadomych nie jest zerem. Ograniczymy się tutaj do rozwiązań rzeczywistych.

Przypuśćmy, że $ (x, y, z) $ jest rozwiązaniem układu (1), przy czym $ xyz \ne 0 $. Z równań (1) wynika, że wówczas $ x + y + z \ne 0 $.

Przy tych założeniach prawdziwe są równości

\[<br />
(x + y + z)^2 = \frac{a^4 (yz)^3}{x} = \frac{b^4 (zx)^3}{y} = \frac{c^4 (xy)^3}{z}<br />
\]

a także równości

\[<br />
\frac{1}{(x + y + z)^2} = \frac{x}{a^4y^3z^3} = \frac{y}{b^4z^3x^3} = \frac{z}{c^4x^3y^3}<br />
\]

i wreszcie równości

\[<br />
\frac{x^3y^3z^3}{(x + y + z)^2} = \frac{x^4}{a^4} = \frac{y^4}{b^4} = \frac{z^4}{c^4}.<br />
\]

Istnieje wówczas taka dodatnia liczba $ k $, że

\[<br />
x^4 = a^4k^4,\ y^4 = b^4k^4,\ z^4 = c^4k^4, x^3y^3z^3 = k^4 (x + y + z)^2,<br />
\]

wobec czego

\[<br />
(2) \qquad  x = ak \varepsilon,\  y = bk \eta, \ z = ck \zeta,<br />
\]

gdzie $ \varepsilon = \pm 1 $, $ \eta = \pm 1 $, $ \zeta = \pm 1 $, oraz

\[<br />
a^3 b^3 c^3 k^3 \varepsilon^3 \eta^3 \zeta^3 = k^4 [ak \varepsilon + bk \eta + ck \zeta)^2.<br />
\]

Lecz $ \varepsilon^3 = \varepsilon $, $ \eta^3 = \eta $, $ \zeta^3 = \zeta $ i z ostatniej równości otrzymujemy

\[<br />
k^3 = \frac{(a\varepsilon + b\eta + c\zeta)^2}{\varepsilon \eta \zeta a^3b^3c^3}.<br />
\]

Ponieważ $ k > 0 $, zatem $ \varepsilon \eta \zeta > 0 $, a że $ \varepsilon \eta \zeta  $ może być tylko jedną z liczb $ 1 $ i $ - 1 $, więc

\[<br />
(3) \qquad  \varepsilon \eta \zeta  = 1<br />
\]

i

\[<br />
(4) \qquad  k = \frac{\sqrt[3]{(a\varepsilon + b\eta + c\zeta)^2}}{abc}.<br />
\]

Ze wzorów (2) i (4)- otrzymujemy

\[<br />
(5) \qquad<br />
\begin{array}{c}<br />
x = \frac{\varepsilon}{bc} \sqrt[3]{(a\varepsilon + b\eta + c\zeta)^2}\\<br />
y = \frac{\varepsilon}{ac} \sqrt[3]{(a\varepsilon + b\eta + c\zeta)^2}\\<br />
z = \frac{\zeta}{ab} \sqrt[3]{(a\varepsilon + b\eta + c\zeta)^2}.<br />
\end{array}<br />
\]

Z równości (3) wynika, że trójka liczb $ (\varepsilon, \eta, \zeta) $ może być tylko jedną z trójek: $ (1, 1, 1) $, $ (1, - 1, - 1) $, $ (- 1, 1, - 1) $, $ (-1, -1, 1) $. Wzory (5) dają więc przy uwzględnieniu równości (3) cztery układy wartości $ (x, y, z) $, jako jedyne możliwe rozwiązania układu (1), spełniające warunek $ xyz \ne 0 $. Podstawiając wartości (5) do równań (1), sprawdzimy łatwo, że istotnie spełniają one te równania. Można się o tym również przekonać, odwracając wnioskowanie, które doprowadziło do wzorów (5). Nie można jednak twierdzić, że każde z otrzymanych czterech rozwiązań jest różne od $ (0, 0, 0) $. Gdy bowiem współczynniki $ a $, $ b $, $ c $ spełniają jedną z równości $ a - b - c = 0 $, $ -a+b-c=0 $, $ - a - b + c = 0 $, wówczas jednym z tych rozwiązań jest właśnie $ (0, 0, 0) $. Ostatecznie więc otrzymujemy wynik następujący:

Gdy $ (a - b - c) (a - b + c) (a + b - c) \ne 0 $, układ równań (1) ma $ 5 $ rozwiązań, mianowicie $ (0, 0, 0) $ oraz cztery rozwiązania określone wzorami (5), w których każda z liter $ \varepsilon, \eta, \zeta $ oznacza $ 1 $ lub $ - 1 $, przy czym $ \varepsilon \eta \zeta = 1 $.

Gdy $ (a - b - c) (a - b + c) (a + b - c) = 0 $, układ równań (1) ma $ 4 $ rozwiązania określone, jak wyżej, wzorami (5).

2. Trzeba jeszcze zbadać przypadek, gdy $ abc = 0 $. Możemy się przy tym ograniczyć do trzech możliwości (gdyż przy innych wyniki są analogiczne):

a) $ a = 0 $, $ b \ne 0 $, $ c \ne 0 $. Z pierwszego równania otrzymujemy $ x (x + y + z) = 0 $, więc zachodzi jeden z przypadków:

$ \alpha $) Jeżeli $ x = 0 $, to z drugiego i trzeciego równania wynika, że $ y (y + z) = 0 $, $ z(y + z) = 0 $, zatem $ (y + z)^2 = 0 $ i $ y + z = 0 $.

$ \beta $) Jeżeli $ x + y + z = 0 $, to z drugiego i trzeciego równania wynika, że $ zx = 0 $ i $ xy = 0 $ skąd $ x (y + z) = 0 $, zatem jak w przypadku $ \alpha $) jest $ x = 0 $ i $ y + z = 0 $. Odwrotnie, jeżeli $ x = 0 $ i $ y + z = 0 $, to liczby $ x $, $ y $, $ z $ spełniają równania (1).

Ostatecznie więc w przypadku a) rozwiązaniem układu są wszystkie trójki liczb $ (x, y, z) $ spełniające układ równań

\[<br />
x = 0, \quad      y + z = 0.<br />
\]

b) $ a = 0 $, $ b = 0 $, $ c \ne 0 $. Z równań (1) wynika, że

\[<br />
x (x + y + z) = 0,\ y (x + y + z) = 0,<br />
\]

zatem $ xy(x + y + z)^2 = 0 $, skąd wnioskujemy, że jedna z liczb $ xy $ i $ x + y + z $ równa się zeru; z równań (1) łatwo wynika, że w takim razie i druga z tych liczb równa się zeru, tj.

\[<br />
x + y + z = 0,\quad      xy = 0.<br />
\]

Odwrotnie, jeżeli powyższe równania są spełnione, to wszystkie równania (1) są spełnione. Zatem rozwiązaniem układu (1) w przypadku b) są wszystkie trójki liczb $ (x, y, z) $ spełniające jeden z układów

\[<br />
x = 0, \quad     y + z = 0,<br />
\]

lub

\[<br />
y = 0, \quad     x + z = 0.<br />
\]

c) $ a = b = c = 0 $. Z danych równań wynika, że $ x (x + y + z) = 0 $, $ y (x + y + z) = 0 $, $ z (x + y + z) = 0 $, zatem $ (x + y + z)^2 = 0 $ i $ x + y + z = 0 $. Odwrotnie, jeżeli $ x + y + z = 0 $, wszystkie równania (1) są spełnione.

Rozwiązaniem układu (1) w przypadku c) są wszystkie trójki liczb $ (x, y, z) $ czyniące zadość równaniu

\[<br />
x + y + z = 0.<br />
\]

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź