XIII OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli

\[<br />
(1) \qquad  \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C=1<br />
\]

i $ A $, $ B $, $ C $ są kątami ostrymi, to

\[<br />
(2) \qquad  A + B + C < 180^\circ.<br />
\]

Rozwiązanie

Aby udowodnić, że suma kątów ostrych $ A $, $ B $, $ C $ jest mniejsza od $ 180^\circ $, wystarczy dowieść, że $ \cos \frac{A+B+C}{2} > 0 $.

Zauważmy, że każdy z kątów $ \frac{A-B+C}{2} $, $ \frac{A+B-C}{2} $, $ \frac{B+C-A}{2} $ zawiera się między $ - 45^\circ $ i $ 90^\circ $, cosinusy tych kątów są zatem dodatnie. Nierówność (2) będzie więc udowodniona, gdy wykażemy że

\[<br />
\cos \frac{A+B+C}{2} \cdot \cos \frac{A-B+C}{2} \cdot \cos \frac{A+B-C}{2} \cdot \cos \frac{B+C-A}{2} > 0.<br />
\]

W tym celu przekształcimy lewą stronę $ L $ powyższej nierówności:

\[<br />
\begin{split}<br />
L & = \frac{1}{2} [ \cos (A + B) + \cos C] \cdot \frac{1}{2} [\cos C + \cos (A - B)] = \\<br />
& = \frac{1}{4} \{ [\cos (A+B) + \cos (A-B)] \cdot \cos C + \cos (A+B) \cos (A - B) + \cos^2 C \} = \\<br />
& = \frac{1}{4} (2 \cos A \cos B \cos C + \cos^2 A \cos^2 B - \sin^2 A \sin^2 B + \cos^2 C) = \\<br />
& = \frac{1}{4} (2 \cos 4 \cos B \cos C + \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C - 1).<br />
\end{split}<br />
\]

Uwzględniając założenie (1) otrzymujemy stąd

\[<br />
L = \frac{1}{2} \cos A \cos B \cos C,<br />
\]

a ponieważ $ \cos A > 0 $, $ \cos B > 0 $ i $ \cos C > 0 $, zatem $ L > 0 $, a stąd wynika nierówność (2).

Uwaga. Powyższy wynik można interpretować jako pewne twierdzenie stereometrii. Obierzmy w przestrzeni układ współrzędnych prostokątnych $ OXYZ $ (rys. 15) i niech $ P $ będzie punktem o współrzędnych

\[<br />
x = \cos A, \    y = \cos B,\ z = \cos C.<br />
\]

Ponieważ kąty $ A $, $ B $, $ C $ są ostre, więc $ x > 0 $, $ y > 0 $, $ z > 0 $, tzn. punkt $ P $ leży wewnątrz kąta trójściennego, którego krawędziami są dodatnie półosie $ OX $, $ OY $, $ OZ $. Odległość $ OP $ jest równa $  1 $, gdyż

\[<br />
OP^2 = x^2 + y^2 + z^2 = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1.<br />
\]

Niech $ \alpha $, $ \beta $, $ \gamma $ będą kątami, które półprosta $ OP $ tworzy z dodatnimi półosiami $ OX $, $ OY $, $ OZ $; kąty te są ostre. Niech $ P' $ będzie rzutem punktu $ P $ na oś $ 0X $. Wówczas

\[<br />
x = OP' = OP \cos \alpha = \cos \alpha, \textrm{ więc }  \cos \alpha = \cos A,<br />
\]

a ponieważ $ \alpha $ i $ A $ są kątami ostrymi, więc

\[<br />
\alpha = A \textrm{ i podobnie } \beta = B \textrm{ i } \gamma = C.<br />
\]

A zatem, według udowodnionego wyżej twierdzenia,

\[<br />
\alpha + \beta + \gamma < 180^\circ<br />
\]

tzn. suma trzech kątów, jakie z krawędziami kąta trójściennego, trójprostokątnego tworzy półprosta poprowadzona wewnątrz tego kąta z jego wierzchołka, jest mniejsza od $ 180^\circ $.

Komentarze

Dodaj nową odpowiedź